关于算法：在C ++中转置矩阵的最快方法是什么？


What is the fastest way to transpose a matrix in C++?

我有一个矩阵(相对较大)，需要转置。例如，假设我的矩阵是

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a b c d e f
g h i j k l
m n o p q r

我希望结果如下：

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a g m
b h n
c I o
d j p
e k q
f l r

最快的方法是什么？

相关讨论

这是个好问题。有很多原因需要在内存中实际转置矩阵，而不仅仅是交换坐标，例如在矩阵乘法和高斯涂抹中。

首先，让我列出一个用于转置的函数(编辑：请参阅我的答案的结尾，在这里我找到了一个更快的解决方案)

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void transpose(float *src, float *dst, const int N, const int M) {
    #pragma omp parallel for
    for(int n = 0; n<N*M; n++) {
        int i = n/N;
        int j = n%N;
        dst[n] = src[M*j + i];
    }
}

现在让我们看看为什么转置是有用的。考虑矩阵乘法c=a*b，我们可以这样做。

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for(int i=0; i<N; i++) {
    for(int j=0; j<K; j++) {
        float tmp = 0;
        for(int l=0; l<M; l++) {
            tmp += A[M*i+l]*B[K*l+j];
        }
        C[K*i + j] = tmp;
    }
}

但是，这样会有很多缓存未命中。一个更快的解决方案是先把B的转置

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transpose(B);
for(int i=0; i<N; i++) {
    for(int j=0; j<K; j++) {
        float tmp = 0;
        for(int l=0; l<M; l++) {
            tmp += A[M*i+l]*B[K*j+l];
        }
        C[K*i + j] = tmp;
    }
}
transpose(B);

矩阵乘法是O(n^3)，转置是O(n^2)，因此使用转置对计算时间的影响应该可以忽略不计(对于大型n)。在矩阵乘法循环中，平铺比转置更有效，但这要复杂得多。

我希望我知道一个更快的转置方法(编辑：我找到了一个更快的解决方案，见我的答案的结尾)。当Haswell/AVx2在几周后推出时，它将具有收集功能。我不知道在这种情况下这是否有帮助，但我可以想象收集一列并写出一行。也许这会使转置变得不必要。

对于高斯涂抹，您要做的是水平涂抹，然后垂直涂抹。但是垂直涂抹有缓存问题，所以您要做的是

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Smear image horizontally
transpose output
Smear output horizontally
transpose output

这是英特尔的一篇论文解释了这一点http://software.intel.com/en-us/articles/iir-gaussian-blur-filter-implementation-using-intel-advanced-vector-extensions

最后，我在矩阵乘法(和高斯涂抹)中实际所做的并不是精确地采用转置，而是采用一定向量大小的宽度(例如，SSE/AVX为4或8)进行转置。这是我使用的功能

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void reorder_matrix(const float* A, float* B, const int N, const int M, const int vec_size) {
    #pragma omp parallel for
    for(int n=0; n<M*N; n++) {
        int k = vec_size*(n/N/vec_size);
        int i = (n/vec_size)%N;
        int j = n%vec_size;
        B[n] = A[M*i + k + j];
    }
}

编辑：

我尝试了几个函数来寻找大型矩阵的最快转置。最后，最快的结果是将循环阻塞与block_size=16结合使用(编辑：我发现了一个使用SSE和循环阻塞的更快的解决方案——见下文)。此代码适用于任何NXM矩阵(即矩阵不必是正方形)。

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inline void transpose_scalar_block(float *A, float *B, const int lda, const int ldb, const int block_size) {
    #pragma omp parallel for
    for(int i=0; i<block_size; i++) {
        for(int j=0; j<block_size; j++) {
            B[j*ldb + i] = A[i*lda +j];
        }
    }
}

inline void transpose_block(float *A, float *B, const int n, const int m, const int lda, const int ldb, const int block_size) {
    #pragma omp parallel for
    for(int i=0; i<n; i+=block_size) {
        for(int j=0; j<m; j+=block_size) {
            transpose_scalar_block(&A[i*lda +j], &B[j*ldb + i], lda, ldb, block_size);
        }
    }
}

值lda和ldb是矩阵的宽度。这些需要是块大小的倍数。要查找值并为例如30000x1001矩阵分配内存，我会这样做

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#define ROUND_UP(x, s) (((x)+((s)-1)) & -(s))
const int n = 3000;
const int m = 1001;
int lda = ROUND_UP(m, 16);
int ldb = ROUND_UP(n, 16);

float *A = (float*)_mm_malloc(sizeof(float)*lda*ldb, 64);
float *B = (float*)_mm_malloc(sizeof(float)*lda*ldb, 64);

对于30000x1001，返回 ldb = 3008和 lda = 1008。

编辑：

我发现了一个更快速的解决方案，使用SSE内部函数：

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inline void transpose4x4_SSE(float *A, float *B, const int lda, const int ldb) {
    __m128 row1 = _mm_load_ps(&A[0*lda]);
    __m128 row2 = _mm_load_ps(&A[1*lda]);
    __m128 row3 = _mm_load_ps(&A[2*lda]);
    __m128 row4 = _mm_load_ps(&A[3*lda]);
     _MM_TRANSPOSE4_PS(row1, row2, row3, row4);
     _mm_store_ps(&B[0*ldb], row1);
     _mm_store_ps(&B[1*ldb], row2);
     _mm_store_ps(&B[2*ldb], row3);
     _mm_store_ps(&B[3*ldb], row4);
}

inline void transpose_block_SSE4x4(float *A, float *B, const int n, const int m, const int lda, const int ldb ,const int block_size) {
    #pragma omp parallel for
    for(int i=0; i<n; i+=block_size) {
        for(int j=0; j<m; j+=block_size) {
            int max_i2 = i+block_size < n ? i + block_size : n;
            int max_j2 = j+block_size < m ? j + block_size : m;
            for(int i2=i; i2<max_i2; i2+=4) {
                for(int j2=j; j2<max_j2; j2+=4) {
                    transpose4x4_SSE(&A[i2*lda +j2], &B[j2*ldb + i2], lda, ldb);
                }
            }
        }
    }
}
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这将取决于您的应用程序，但一般来说，转置矩阵的最快方法是在查找时反转坐标，然后不必实际移动任何数据。

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关于使用x86硬件转换4x4平方浮点(稍后我将讨论32位整数)矩阵的一些详细信息。从这里开始有助于转换较大的正方形矩阵，如8x8或16x16。

_MM_TRANSPOSE4_PS(r0, r1, r2, r3)由不同的编译器以不同的方式实现。GCC和ICC(我没有检查clang)使用unpcklps, unpckhps, unpcklpd, unpckhpd，而MSVC仅使用shufps。我们可以像这样将这两种方法结合在一起。

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t0 = _mm_unpacklo_ps(r0, r1);
t1 = _mm_unpackhi_ps(r0, r1);
t2 = _mm_unpacklo_ps(r2, r3);
t3 = _mm_unpackhi_ps(r2, r3);

r0 = _mm_shuffle_ps(t0,t2, 0x44);
r1 = _mm_shuffle_ps(t0,t2, 0xEE);
r2 = _mm_shuffle_ps(t1,t3, 0x44);
r3 = _mm_shuffle_ps(t1,t3, 0xEE);

一个有趣的观察是，两次洗牌可以转换成一次洗牌和两次混合(SSE4.1)，就像这样。

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t0 = _mm_unpacklo_ps(r0, r1);
t1 = _mm_unpackhi_ps(r0, r1);
t2 = _mm_unpacklo_ps(r2, r3);
t3 = _mm_unpackhi_ps(r2, r3);

v  = _mm_shuffle_ps(t0,t2, 0x4E);
r0 = _mm_blend_ps(t0,v, 0xC);
r1 = _mm_blend_ps(t2,v, 0x3);
v  = _mm_shuffle_ps(t1,t3, 0x4E);
r2 = _mm_blend_ps(t1,v, 0xC);
r3 = _mm_blend_ps(t3,v, 0x3);

这有效地将4次洗牌转化为2次洗牌和4次混合。这比GCC、ICC和MSVC的实现多使用了2条指令。其优点是降低了端口压力，在某些情况下可能会有好处。目前，所有的无序排列和解包只能转到一个特定的端口，而混合可以转到两个不同的端口中的任何一个。

我试着用8个洗牌，像msvc，把它转换成4个洗牌+8个混合，但没有用。我还得用4个行李箱。

我对8x8的浮点转置使用了同样的技术(见答案的最后部分)。https://stackoverflow.com/a/25627536/2542702。在这个答案中，我仍然需要使用8个解包，但是我把8个解包转换成4个解包和8个混合解包。

对于32位整数，没有类似于shufps的东西(除了使用avx512的128位随机移动)，所以它只能用解包来实现，我认为这种解包不能转换为混合(有效)。使用avx512 vshufi32x4可以有效地像shufps一样工作，除了4个整数的128位通道而不是32位浮点之外，因此在某些情况下，这种技术可能与vshufi32x4相同。对于骑士来说，着陆步进比混合步进慢四倍。

相关讨论

没有任何开销的转置(类不完整)：

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class Matrix{
   double *data; //suppose this will point to data
   double _get1(int i, int j){return data[i*M+j];} //used to access normally
   double _get2(int i, int j){return data[j*N+i];} //used when transposed

   public:
   int M, N; //dimensions
   double (*get_p)(int, int); //functor to access elements  
   Matrix(int _M,int _N):M(_M), N(_N){
     //allocate data
     get_p=&Matrix::_get1; // initialised with normal access
     }

   double get(int i, int j){
     //there should be a way to directly use get_p to call. but i think even this
     //doesnt incur overhead because it is inline and the compiler should be intelligent
     //enough to remove the extra call
     return (this->*get_p)(i,j);
    }
   void transpose(){ //twice transpose gives the original
     if(get_p==&Matrix::get1) get_p=&Matrix::_get2;
     else get_p==&Matrix::_get1;
     swap(M,N);
     }
}

可以这样使用：

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Matrix M(100,200);
double x=M.get(17,45);
M.transpose();
x=M.get(17,45); // = original M(45,17)

当然，我没有在这里讨论内存管理，这是非常重要的，但主题不同。

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将每一行视为一列，每一列视为一行。用j，i代替i，j

演示：http://ideone.com/lvsxkz

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#include <iostream>
using namespace std;

int main ()
{
    char A [3][3] =
    {
        { 'a', 'b', 'c' },
        { 'd', 'e', 'f' },
        { 'g', 'h', 'i' }
    };

    cout <<"A =" << endl << endl;

    // print matrix A
    for (int i=0; i<3; i++)
    {
        for (int j=0; j<3; j++) cout << A[i][j];
        cout << endl;
    }

    cout << endl <<"A transpose =" << endl << endl;

    // print A transpose
    for (int i=0; i<3; i++)
    {
        for (int j=0; j<3; j++) cout << A[j][i];
        cout << endl;
    }

    return 0;
}
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template <class T>
void transpose( std::vector< std::vector<T> > a,
std::vector< std::vector<T> > b,
int width, int height)
{
    for (int i = 0; i < width; i++)
    {
        for (int j = 0; j < height; j++)
        {
            b[j][i] = a[i][j];
        }
    }
}
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我认为最快的方法不应超过O(n^2)，也可以这样使用O(1)空间：这样做的方法是成对交换，因为当你转置一个矩阵时，你要做的是：m[i][j]=m[j][i]，所以把m[i][j]存储在temp中，然后m[i][j]=m[j][i]，最后一步是：m[j][i]=temp。这可以一次完成，所以需要O(n^2)

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我的答案是3x3矩阵的转置

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 #include<iostream.h>

#include<math.h>


main()
{
int a[3][3];
int b[3];
cout<<"You must give us an array 3x3 and then we will give you Transposed it"<<endl;
for(int i=0;i<3;i++)
{
    for(int j=0;j<3;j++)
{
cout<<"Enter a["<<i<<"]["<<j<<"]:";

cin>>a[i][j];

}

}
cout<<"Matrix you entered is :"<<endl;

 for (int e = 0 ; e < 3 ; e++ )

{
    for ( int f = 0 ; f < 3 ; f++ )

        cout << a[e][f] <<"\t";


    cout << endl;

    }

 cout<<"
Transposed of matrix you entered is :"<<endl;
 for (int c = 0 ; c < 3 ; c++ )
{
    for ( int d = 0 ; d < 3 ; d++ )
        cout << a[d][c] <<"\t";

    cout << endl;
    }

return 0;
}