What is the fastest way to get the value of π?
我正在寻找获得π值的最快方法,作为个人挑战。更具体地说,我使用的方法不涉及使用
下面的程序测试了我所知道的各种方法。从理论上讲,内联汇编版本是最快的选择,但显然不可移植。我把它作为比较其他版本的基线。在我的测试中,使用内置的,
以下是主要的测试程序(
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以及仅适用于x86和X64系统的内联装配材料(
1 2 3 4 5 6 7 | double fldpi() { double pi; asm("fldpi" :"=t" (pi)); return pi; } |
以及构建我正在测试的所有配置的构建脚本(
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 | #!/bin/sh gcc -O3 -Wall -c -m32 -o fldpi-32.o fldpi.c gcc -O3 -Wall -c -m64 -o fldpi-64.o fldpi.c gcc -O3 -Wall -ffast-math -m32 -o pitimes1-32 pitimes.c fldpi-32.o gcc -O3 -Wall -m32 -o pitimes2-32 pitimes.c fldpi-32.o -lm gcc -O3 -Wall -fno-builtin -m32 -o pitimes3-32 pitimes.c fldpi-32.o -lm gcc -O3 -Wall -ffast-math -m64 -o pitimes1-64 pitimes.c fldpi-64.o -lm gcc -O3 -Wall -m64 -o pitimes2-64 pitimes.c fldpi-64.o -lm gcc -O3 -Wall -fno-builtin -m64 -o pitimes3-64 pitimes.c fldpi-64.o -lm |
除了在各种编译器标志之间进行测试(我也比较了32位和64位,因为优化是不同的),我还尝试切换测试顺序。但是,
如前所述,蒙特卡罗方法应用了一些伟大的概念,但显然,它不是最快的,不是一个长镜头,不是任何合理的措施。而且,这一切都取决于你在寻找什么样的准确度。我所知道的最快的π是数字硬编码的π。看看pi和pi[pdf],有很多公式。
这是一种快速收敛的方法——每次迭代大约14位数字。当前速度最快的应用程序pifast将此公式与fft一起使用。我只写公式,因为代码很简单。这个公式几乎是由拉马努扬和查德诺夫斯基发现的。这实际上是他计算这个数字数十亿位数的方法,所以这不是一个可以忽略的方法。这个公式会很快溢出,因为我们在除阶乘,所以推迟计算以删除项是有利的。
哪里,
下面是布伦特-萨拉敏算法。维基百科提到,当a和b"足够接近"时,(a+b)2/4t将是π的近似值。我不知道"足够接近"是什么意思,但是根据我的测试,一次迭代得到2位数字,两次得到7位,三次得到15位,当然这是双精度的,所以基于它的表示可能会有错误,真正的计算可能更准确。
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 | let pi_2 iters = let rec loop_ a b t p i = if i = 0 then a,b,t,p else let a_n = (a +. b) /. 2.0 and b_n = sqrt (a*.b) and p_n = 2.0 *. p in let t_n = t -. (p *. (a -. a_n) *. (a -. a_n)) in loop_ a_n b_n t_n p_n (i - 1) in let a,b,t,p = loop_ (1.0) (1.0 /. (sqrt 2.0)) (1.0/.4.0) (1.0) iters in (a +. b) *. (a +. b) /. (4.0 *. t) |
最后,来点皮球(800位)怎么样?160个字!
1 | int a=10000,b,c=2800,d,e,f[2801],g;main(){for(;b-c;)f[b++]=a/5;for(;d=0,g=c*2;c-=14,printf("%.4d",e+d/a),e=d%a)for(b=c;d+=f[b]*a,f[b]=d%--g,d/=g--,--b;d*=b);} |
我真的很喜欢这个程序,因为它通过观察自己的面积来近似π。
国际奥委会1988年:韦斯特利。
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21 #define _ -F<00||--F-OO--;
int F=00,OO=00;main(){F_OO();printf("%1.3f
",4.*-F/OO/OO);}F_OO()
{
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}
这是我高中时学过的一种计算圆周率的方法的一般描述。
我只分享这一点,因为我认为它足够简单,任何人都可以无限期地记住它,而且它教给你"蒙特卡罗"方法的概念——这是获得答案的统计方法,这些方法似乎不能立即通过随机过程推导出来。
画一个正方形,在这个正方形内刻一个象限(半圆形的四分之一)(半径等于正方形边的一个象限,这样它就可以填充尽可能多的正方形)
现在把飞镖扔到广场上,记录它落在哪里——也就是说,在广场内的任何地方选择一个随机点。当然,它降落在正方形内,但它是在半圆形内吗?记录下这个事实。
重复这个过程很多次——你会发现半圆形内的点数与抛出的总数之比,称之为x。
因为正方形的面积是r乘以r,你可以推断出半圆形的面积是x乘以r乘以r(即x乘以r的平方)。因此x乘以4会得到π。
这不是一个快速使用的方法。但这是蒙特卡罗方法的一个很好的例子。如果你环顾四周,你可能会发现许多问题,否则你的计算能力之外的许多问题,可以通过这些方法来解决。
为了实现完整性,C++模板版本,对于优化的构建,将在编译时计算PI的近似值,并将内联到单个值。
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注:对于i>10,优化的构建速度可能很慢,对于非优化的运行也是如此。对于12个迭代,我相信有大约80k个对value()的调用(在没有Memoisation的情况下)。
实际上,有一本书(除其他外)专门介绍了乔纳森和彼得·博文(可在亚马逊上买到)的快速计算pi:pi和agm的方法。
我研究了很多AGM和相关的算法:它很有趣(尽管有时很重要)。
请注意,要实现大多数现代算法来计算pi,您需要一个多精度算法库(gmp是一个很好的选择,尽管我上次使用它已经有一段时间了)。
最佳算法的时间复杂度以o(m(n)log(n))为单位,其中m(n)是使用基于fft的算法将两个n位整数(m(n)=o(n log(n)log(n))相乘的时间复杂度,这种算法通常在计算pi的位数时需要,并且这种算法在gmp中实现)。
请注意,尽管算法背后的数学可能并不简单,但算法本身通常是几行伪代码,它们的实现通常非常简单(如果您选择不编写自己的多精度算法-)。
下面精确地回答了如何以尽可能快的方式做到这一点——用最少的计算工作量。即使你不喜欢这个答案,你也必须承认它确实是获得π值的最快方法。
获取pi值的最快方法是:
1)选择您最喜欢的编程语言2)加载其数学库3)并且发现pi已经在那里定义了——准备好使用了!
万一你手头没有数学图书馆……
第二个最快的方法(更通用的解决方案)是:
在Internet上查找pi,例如:
http://www.eveanersson.com/pi/digits/1000000(100万位)。你的浮点精度是多少?)
或在这里:
http://3.1415926535897932384664338327950288419716939933751055820974944592.com/
或在这里:
网址:http://en.wikipedia.org/wiki/pi
无论您想使用什么精度的算术,找到所需的数字都是非常快的,通过定义一个常量,您可以确保不会浪费宝贵的CPU时间。
这不仅是一个部分幽默的答案,而且在现实中,如果有人继续计算π在实际应用中的值的话。那将是对CPU时间的极大浪费,不是吗?至少我没有看到一个真正的应用程序试图重新计算这个。
尊敬的主持人:请注意,OP要求:"获取pi值的最快方法"
BBP公式允许您以2(或16)为基数计算第n个数字,而不必首先考虑前面的n-1个数字:)
我总是使用
如果这篇文章是真的,那么贝拉德创建的算法可能是最快的。他用台式电脑创造了2.7万亿个圆周率!
…他在这里发表了他的作品
干得好,贝拉德,你是个先锋!
http://www.theregister.co.uk/2010/01/06/very-long-pi/
刚刚遇到了一个完整性应该在这里的问题:
计算pi in piet
它有一个相当好的特性,可以提高精度,使程序更大。
以下是对语言本身的一些洞察
这是一个"经典"的方法,非常容易实现。这个实现是用Python(不是很快的语言)实现的:
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 | from math import pi from time import time precision = 10**6 # higher value -> higher precision # lower value -> higher speed t = time() calc = 0 for k in xrange(0, precision): calc += ((-1)**k) / (2*k+1.) calc *= 4. # this is just a little optimization t = time()-t print"Calculated: %.40f" % calc print"Costant pi: %.40f" % pi print"Difference: %.40f" % abs(calc-pi) print"Time elapsed: %s" % repr(t) |
您可以在这里找到更多信息。
无论如何,在python中获得精确的pi值的最快方法是:
1 2 3 | from gmpy import pi print pi(3000) # the rule is the same as # the precision on the previous code |
下面是gmpy pi方法的源代码,我认为在这种情况下,代码不如注释有用:
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编辑:我对剪切、粘贴和识别有一些问题,无论如何,你可以在这里找到源代码。
如果说"最快"是指键入代码最快,那么下面是golfscript解决方案:
1 | ;''6666,-2%{2+.2/@*\/10.3??2*+}*`1000<~\; |
使用类似机器的公式
1 2 3 4 | 176 * arctan (1/57) + 28 * arctan (1/239) - 48 * arctan (1/682) + 96 * arctan(1/12943) [; \left( 176 \arctan \frac{1}{57} + 28 \arctan \frac{1}{239} - 48 \arctan \frac{1}{682} + 96 \arctan \frac{1}{12943} ight) ;], for you TeX the World people. |
在方案中实现,例如:
如果您愿意使用近似值,
用d计算编译时的pi。
(从dsource.org复制)
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圆周率正好是3![弗里克教授(辛普森一家)]
开玩笑,但这里有一个C(.NET框架是必需的)。
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双打:
1 | 4.0 * (4.0 * Math.Atan(0.2) - Math.Atan(1.0 / 239.0)) |
这将精确到小数点后14位,足以填充一个双精度(不精确可能是因为弧切线中的其余小数被截断)。
还有塞思,是3.141592653589793238463,不是64。
这个版本(在Delphi中)并没有什么特别之处,但它至少比NickHodge在他的博客上发布的版本快。在我的机器上,大约需要16秒来进行10亿次迭代,得到的值为3.1415926525879(精确部分用粗体表示)。
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如果你想计算π的近似值(出于某种原因),你应该尝试一种二进制提取算法。Bellard对BBP的改进给出了do pi in o(n^2)。
如果你想得到π的近似值来进行计算,那么:
1 | PI = 3.141592654 |
当然,这只是一个近似值,并不完全准确。它关闭了0.00000000004102多一点。(四个十万亿分之一,约4/1000000000)。
如果你想用π做数学,那就给自己买一支铅笔和纸或者一个计算机代数包,然后用π的精确值π。
如果你真的想要一个公式,这个很有趣:
π=I LN(- 1)在过去的日子里,我们使用小单词大小和缓慢或不存在的浮点运算,我们曾经做过这样的事情:
1 2 | /* Return approximation of n * PI; n is integer */ #define pi_times(n) (((n) * 22) / 7) |
对于不需要太高精度的应用程序(例如,视频游戏),这是非常快的,并且足够精确。
上面克里斯发布的布伦特方法非常好;布伦特通常是任意精度算术领域的巨人。
如果你只想要第n个数字,著名的BBP公式在十六进制中有用
从圆面积计算π:—)
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 | <input id="range" type="range" min="10" max="960" value="10" step="50" oninput="calcPi()"> function generateCircle(width) { var c = width/2; var delta = 1.0; var str =""; var xCount = 0; for (var x=0; x <= width; x++) { for (var y = 0; y <= width; y++) { var d = Math.sqrt((x-c)*(x-c) + (y-c)*(y-c)); if (d > (width-1)/2) { str += '.'; } else { xCount++; str += 'o'; } str +=" " } str +=" "; } var pi = (xCount * 4) / (width * width); return [str, pi]; } function calcPi() { var e = document.getElementById("cont"); var width = document.getElementById("range").value; e.innerHTML ="<h4>Generating circle...</h4>"; setTimeout(function() { var circ = generateCircle(width); e.innerHTML ="[cc]" +"π =" + circ[1].toFixed(2) +" " + circ[0] +" |
;},200);}钙();< /代码>
更好的方法
要获得标准常量(如pi或标准概念)的输出,我们首先应该使用您正在使用的语言提供的内置方法。它将以最快的方式和最好的方式返回值。我正在使用python获取获取值pi的最快方法
- 数学库的pi变量。数学库将变量pi存储为常量。
马蒂皮皮耶
1 2 | import math print math.pi |
运行Linux
输出:
1 2 3 4 5 | Command being timed:"python math_pi.py" User time (seconds): 0.01 System time (seconds): 0.01 Percent of CPU this job got: 91% Elapsed (wall clock) time (h:mm:ss or m:ss): 0:00.03 |
- 使用弧cos数学方法
阿克苏派
1 2 | import math print math.acos(-1) |
运行Linux
输出:
1 2 3 4 5 | Command being timed:"python acos_pi.py" User time (seconds): 0.02 System time (seconds): 0.01 Percent of CPU this job got: 94% Elapsed (wall clock) time (h:mm:ss or m:ss): 0:00.03 |
- 使用BBP公式
BBPIPI.Py
1 2 3 4 5 6 7 | from decimal import Decimal, getcontext getcontext().prec=100 print sum(1/Decimal(16)**k * (Decimal(4)/(8*k+1) - Decimal(2)/(8*k+4) - Decimal(1)/(8*k+5) - Decimal(1)/(8*k+6)) for k in range(100)) |
使用Linux
输出:
1 2 3 4 5 | Command being timed:"python c.py" User time (seconds): 0.05 System time (seconds): 0.01 Percent of CPU this job got: 98% Elapsed (wall clock) time (h:mm:ss or m:ss): 0:00.06 |
所以最好的方法是使用语言提供的内置方法,因为它们是获得输出的最快和最好的方法。在python中使用math.pi