使用MATLAB求解矩阵方程组？

Solving a system of matrix equations using MATLAB?

我有一个由三个方程组成的系统，我想通过MATLAB求解，但是我对如何执行此过程感到有些困惑。

我有三个方程式：

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A = R*P1
B = R*P2
C = R*P3

A, B, C和P1, P2和P3是3x1矩阵，而R是3x3矩阵。对于所有三个方程式，R均相同。

我需要找到R，并得到A, B, C和P's。

我想使用fsolve，但是当变量是矩阵时，fsolve似乎不起作用。您建议使用什么替代方法？

只需计算一些数字即可使用：

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P1 = [1;1;1];
P2 = [2;3;4];
P3 = [5;4;3];

R = [2 4 5; 1 5 4; 1 2 3];

这意味着：

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A = [11;10;6];
B = [36;33;20];
C = [41;37;22];

如果A, B, C, P1, P2, P3都是数字，为什么不简单地使用ldivide或\运算符？这将允许您直接求解线性系统。我可以看到您具有以下关系：

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R*P1 = A
R*P2 = B
R*P3 = C

您可以看到每个矩阵方程产生三个约束。您可以做的是创建一个将所有矩阵方程式封装在一起的系统，从而产生9个约束。因此，您需要重新设置它以便能够不同地求解矩阵R中的系数。为此，我们需要调整矩阵R的形状，使其变为9元素向量。换句话说，我们可以像下面这样重新格式化您的系统：

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[P1 0 0 0 0 0 0] [R1] [ ]
[0 0 0 P1 0 0 0] [R2] [ A ]
[0 0 0 0 0 0 P1] [R3] [ ]
[P2 0 0 0 0 0 0] [R4] [ ]
[0 0 0 P2 0 0 0] * [R5] = [ B ]
[0 0 0 0 0 0 P2] [R6] [ ]
[P3 0 0 0 0 0 0] [R7] [ ]
[0 0 0 P3 0 0 0] [R8] [ C ]
[0 0 0 0 0 0 P3] [R9] [ ]

P * R = D

您会看到我们有一个名为P的9 x 9矩阵，该矩阵R被重塑为一个向量，以便我们可以求解系数，并且D被A,B,C串联在一起成为一个向量。 R1至R9是从左至右和从上至下读取的矩阵R的系数。

因此，要在矩阵中找到系数，只需执行以下操作：

1	R = P^{-1}*D

这样，只需构造矩阵P和向量D，如下所示：

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P = [P1.' zeros(1,6); zeros(1,3) P1.' zeros(1,3); zeros(1,6) P1.'; ...
P2.' zeros(1,6); zeros(1,3) P2.' zeros(1,3); zeros(1,6) P2.'; ...
P3.' zeros(1,6); zeros(1,3) P3.' zeros(1,3); zeros(1,6) P3.'];

D = [A; B; C];

现在，只需求解R并将其重塑为3 x 3矩阵。因此：

1 2	R = P \ D; R = reshape(R, 3, 3).';

reshape将向量转换为3 x 3的矩阵，但是它以列主格式构造矩阵，因此您需要在调用reshape之后转置结果。通过您的示例，这就是我们所得到的。我构造了P1, P2, P3, A, B, C，然后使用之前的代码：

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P1 = [1;1;1];
P2 = [2;3;4];
P3 = [5;4;3];

A = [11;10;6];
B = [36;33;20];
C = [41;37;22];

P = [P1.' zeros(1,6); zeros(1,3) P1.' zeros(1,3); zeros(1,6) P1.'; ...
P2.' zeros(1,6); zeros(1,3) P2.' zeros(1,3); zeros(1,6) P2.'; ...
P3.' zeros(1,6); zeros(1,3) P3.' zeros(1,3); zeros(1,6) P3.'];

D = [A; B; C];

R = P \ D;
R = reshape(R, 3, 3).';

要验证R是正确的，请执行以下操作：

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A1 = R*P1;
B1 = R*P2;
C1 = R*P3;

我们得到每个：

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A1 =

11
10
6

B1 =

36
33
20

C1 =

41
37
22

这与您的示例相符。但是，请注意，您可能会收到R状况不佳的警告。这是因为您可能没有足够的约束来正确地找到唯一的逆。您可能必须添加更多约束才能获得唯一的逆，但如果不能，则请谨慎使用。