关于算法：生成均匀随机好奇的二叉树

Generating uniformly random curious binary trees

如果一个n个节点的二叉树的节点值为1、2、…、n，并且满足以下属性，那么它就是"好奇的"。

树的每个内部节点只有一个比它大的子代。
1，2，…，n中的每一个数字都恰好出现在树中一次。

一个奇怪的二叉树的例子

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4
5

4
/ \
5 2
/ \
1 3

你能给出一个算法来生成一个在O(N)保证时间内运行的n个节点的一致随机奇异二叉树吗？

假设您只能访问一个随机数生成器，对于任何1<=k<=n，该生成器都可以在[1，k]范围内给您一个(均匀分布的)随机数。假设生成器在o(1)中运行。

O(非登录)时间解决方案也会得到我的支持。

请遵循标记的二叉树的一般定义，以考虑不同的奇异二叉树。

相关讨论

啊哈，我想我已经知道如何在O(N)时间内创建一个随机堆了。(之后，使用GregKuperberg的答案中的方法将其转换为"好奇的"二叉树。)

编辑2：直接生成随机最小堆的粗糙伪代码。最大堆是相同的，除了插入到堆中的值是相反的数字顺序。

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struct Node {
Node left, right;
Object key;
constructor newNode() {
N = new Node;
N.left = N.right = null;
N.key = null;
}
}

function create-random-heap(RandomNumberGenerator rng, int N)
{
Node heap = Node.newNode();
// Creates a heap with an"incomplete" node containing a null, and having
// both child nodes as null.

List incompleteHeapNodes = [heap];
// use a vector/array type list to keep track of incomplete heap nodes.

for k = 1:N
{
// loop invariant: incompleteHeapNodes has k members. Order is unimportant.

int m = rng.getRandomNumber(k);
// create a random number between 0 and k-1
Node node = incompleteHeapNodes.get(m);
// pick a random node from the incomplete list,
// make it a complete node with key k.
// It is ok to do so since all of its parent nodes
// have values less than k.
node.left = Node.newNode();
node.right = Node.newNode();
node.key = k;

// Now remove this node from incompleteHeapNodes
// and add its children. (replace node with node.left,
// append node.right)

incompleteHeapNodes.set(m, node.left);
incompleteHeapNodes.append(node.right);

// All operations in this loop take O(1) time.
}

return prune-null-nodes(heap);
}

// get rid of all the incomplete nodes.
function prune-null-nodes(heap)
{
if (heap == null || heap.key == null)
return null;
heap.left = prune-null-nodes(heap.left);
heap.right = prune-null-nodes(heap.right);
}