我了解big-o表示法，但我不知道如何计算许多函数。特别是，我一直在试图找出Fibonacci序列的原始版本的计算复杂性：

斐波那契数列的计算复杂度是多少？如何计算？

您将计算Fib(n)的时间函数建模为计算Fib(n-1)的时间加上计算Fib(n-2)的时间加上将它们相加的时间之和(O(1))。这是假设对同一个Fib(n)的重复评估需要相同的时间，即不使用记忆化。

T(n<=1) = O(1)

T(n) = T(n-1) + T(n-2) + O(1)

您解决这个循环关系(例如，使用生成函数)，最终得到答案。

或者，您可以绘制递归树，其深度为n，并直观地发现该函数是渐进的O(2n)。然后你可以通过归纳法来证明你的猜想。

基础：n = 1明显

假设T(n-1) = O(2n-1)，因此

T(n) = T(n-1) + T(n-2) + O(1)等于

T(n) = O(2n-1) + O(2n-2) + O(1) = O(2n)。

然而，正如评论中所指出的，这并不是严格限制。关于这个函数的一个有趣的事实是，t(n)与Fib(n)的值渐进地相同，因为两者都被定义为

f(n) = f(n-1) + f(n-2)。

递归树的叶总是返回1。Fib(n)的值是递归树中叶返回的所有值的总和，等于叶的计数。由于每个叶需要O(1)来计算，所以T(n)等于Fib(n) x O(1)。因此，这个函数的紧界限是斐波那契序列本身(~θ(1.6n))。通过使用上面提到的生成函数，您可以发现这个紧边界。

只需问问自己需要执行多少语句来完成F(n)。

对于F(1)，答案是1(条件的第一部分)。

对于F(n)，答案是F(n-1) + F(n-2)。

那么，什么函数满足这些规则呢？尝试A(A＞1)：

a n==a(n-1)+a(n-2)

除以a(n-2)：

A2=＝A+ 1

求解a，得到(1+sqrt(5))/2 = 1.6180339887，也就是黄金分割率。

所以这需要指数时间。

我同意pgaur和rickerbh的观点，递归斐波那契的复杂性是o(2^n)。

我也得出了同样的结论，虽然相当简单，但我相信仍然是正确的推理。

首先，要计算在计算第n个斐波那契数时，递归斐波那契函数(f())被调用的次数。如果它在序列0到n中每个数字被调用一次，那么我们有O(n)，如果它在每个数字中被调用N次，那么我们得到O(n*n)，或者O(n^2)，依此类推。

因此，当为数字n调用f()时，在0到n-1之间的给定数字调用f()的次数随着我们接近0而增加。

作为第一印象，在我看来，如果我们把它放在一个视觉上，每次为一个给定的数字调用f()绘制一个单位，我们就会得到一种金字塔形状(也就是说，如果我们把单位水平居中)。像这样：

现在，问题是，随着n的增长，这个金字塔的底部扩大的速度有多快？

让我们以一个真实的案例为例，例如F(6)

我们看到f(0)被调用了32次，这是2^5，对于这个示例案例是2^(n-1)。

现在，我们想知道到底有多少次f(x)被调用，我们可以看到f(0)被调用的次数只是其中的一部分。

如果我们把所有的*，从f(6)到f(2)行移动到f(1)行，我们看到f(1)和f(0)行的长度现在相等。也就是说，当n=6时调用f()的总次数是2x32=64=2^6。

现在，就复杂性而言：

在麻省理工学院有一个关于这个具体问题的非常好的讨论。在第5页，他们指出，如果假设一个加法需要一个计算单元，那么计算fib(n)所需的时间与fib(n)的结果密切相关。

因此，可以直接跳到斐波那契级数的非常接近的近似值：

因此，可以说，幼稚算法的最坏情况是

附言：如果你想了解更多信息，维基百科上有一个关于第n个斐波那契数的闭式表达式的讨论。

你可以扩大它并进行可视化

证明性的答案很好，但我总是要用手反复做几次才能真正说服自己。所以我在白板上画了一个小的调用树，开始计算节点数。我把我的计数分为总节点、叶节点和内部节点。我得到的是：

立即跳出来的是叶节点的数量是fib(n)。需要更多的迭代才能注意到内部节点的数量是fib(n) - 1。因此，节点总数为2 * fib(n) - 1。

由于在对计算复杂性进行分类时降低了系数，最终的答案是θ(fib(n))。

其下端以2^(n/2)为界，上端以2^n为界(如其他注释所述)。递归实现的一个有趣的事实是它有一个fib(n)本身的紧渐近界。这些事实可以概括为：

如果您愿意，可以使用它的封闭形式进一步减少紧束缚。

通过绘制递归树可以更好地估计递归算法的时间复杂度，在这种情况下，绘制递归树的递归关系为t(n)=t(n-1)+t(n-2)+o(1)。注意，每个步骤都采用O(1)表示常量时间，因为它只对if块中n的值进行一次比较。

这里我们假设上面树的每一层都用i表示因此，

假设在i的特定值下，树结束了，当n-i=1，因此i=n-1，这意味着树的高度是n-1。现在让我们看看树中n个层中的每一个都完成了多少工作。注意，正如在递归关系中所述，每个步骤需要O(1)时间。

因为i=n-1是树的高度，在每一级完成的工作将

因此，总完成工作量将是每个级别完成工作量的总和，因此，由于i=n-1，总完成工作量将是2^0+2^1+2^2+2^3…+2^(n-1)。根据几何级数，这个和是2^n，因此这里的总时间复杂度是o(2^n)

根据我的说法，它是O(2^n)，因为在这个函数中，只有递归需要相当长的时间(分而治之)。我们可以看到，当我们达到F(n-(n-1))的水平，即F(1)的水平时，上述功能将在树中继续，直到树叶接近。因此，当我们记下在树的每个深度遇到的时间复杂性时，求和序列是：

这是江户十一〔42〕的命令。

网址：http://www.ics.uci.edu/~eppstein/161/960109.html

时间(n)=3f(n)-2

Fibonacci的原始递归版本在设计上是指数级的，这是由于计算中的重复：

从根本上说，您正在计算：

f(n)取决于f(n-1)和f(n-2)

F(n-1)再次依赖于F(n-2)和F(n-3)

F(n-2)再次依赖于F(n-3)和F(n-4)

然后，在每个级别上都有2个递归调用，这些调用在计算中浪费了大量数据，时间函数将如下所示：

t(n)=t(n-1)+t(n-2)+c，具有c常数

t(n-1)=t(n-2)+t(n-3)>t(n-2)，然后

t(n)＞2×t(n-2)

…

t(n)>2^(n/2)*t(1)=o(2^(n/2))

这只是一个下限，为了便于分析，应该足够了，但实时函数是一个常数的因子，由相同的斐波那契公式和封闭形式是已知的指数黄金比率。

此外，您可以使用如下动态编程找到优化版本的斐波那契：

这是优化的，只执行n个步骤，但也是指数级的。

成本函数的定义从输入大小到解决问题的步骤数。当您看到fibonacci的动态版本(n个步骤计算表)或最容易知道数字是否是素数的算法(sqrt(n)来分析数字的有效除数)时。您可能认为这些算法是O(n)或O(sqrt(n))，但这并非如此，原因如下：您的算法的输入是一个数字：n，使用二进制表示法，整数n的输入大小是log2(n)，然后对

让我们找出作为输入大小函数的步数。

那么，作为输入大小函数的算法成本是：

这就是成本指数化的原因。

这样做效果更好：