关于C#：整数立方根


Integer cube root

我正在寻找64位(无符号)多维数据集根的快速代码。(我正在使用C并用GCC编译，但我认为所需的大部分工作将是语言和编译器无关。)我将用ulong表示一个64位的未签名整数。

给定输入n，我要求(积分)返回值r为

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r * r * r <= n && n < (r + 1) * (r + 1) * (r + 1)

也就是说，我要把n的立方根取整。基本代码类

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return (ulong)pow(n, 1.0/3);

不正确，因为舍入到范围的末尾。简单的代码

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ulong
cuberoot(ulong n)
{
    ulong ret = pow(n + 0.5, 1.0/3);
    if (n < 100000000000001ULL)
        return ret;
    if (n >= 18446724184312856125ULL)
        return 2642245ULL;
    if (ret * ret * ret > n) {
        ret--;
        while (ret * ret * ret > n)
            ret--;
        return ret;
    }
    while ((ret + 1) * (ret + 1) * (ret + 1) <= n)
        ret++;
    return ret;
}

给出正确的结果，但速度比需要的慢。

此代码用于数学库，它将从各种函数中多次调用。速度很重要，但你不能指望一个温暖的缓存(所以像2642245条目的二进制搜索这样的建议是正确的)。

为了进行比较，下面是正确计算整数平方根的代码。

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ulong squareroot(ulong a) {
    ulong x = (ulong)sqrt((double)a);
    if (x > 0xFFFFFFFF || x*x > a)
        x--;
    return x;
}
相关讨论

这本书《黑客的喜悦》有解决这个和许多其他问题的算法。代码在这里在线。编辑：64位整数的代码不能正常工作，本书中关于如何修复64位整数的说明有些混乱。一个适当的64位实现(包括测试用例)在这里联机。

我怀疑你的squareroot函数是否"正确地"工作——参数应该是ulong a，而不是n。(但同样的方法也可以用cbrt而不是sqrt来工作，尽管并非所有的c数学库都有立方根函数)。

相关讨论

如果pow太贵，您可以使用计数前导零指令来获得结果的近似值，然后使用查找表，然后使用一些牛顿步骤来完成它。

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int k = __builtin_clz(n); // counts # of leading zeros (often a single assembly insn)
int b = 64 - k;           // # of bits in n
int top8 = n >> (b - 8);  // top 8 bits of n (top bit is always 1)
int approx = table[b][top8 & 0x7f];

考虑到b和top8，可以使用查找表(在我的代码中，8k个条目)找到与cuberoot(n)很好的近似值。用一些牛顿的步骤(见Comingstorm的答案)来完成它。

相关讨论

您可以尝试牛顿的步骤来修复舍入误差：

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ulong r = (ulong)pow(n, 1.0/3);
if(r==0) return r; /* avoid divide by 0 later on */
ulong r3 = r*r*r;
ulong slope = 3*r*r;

ulong r1 = r+1;
ulong r13 = r1*r1*r1;

/* making sure to handle unsigned arithmetic correctly */
if(n >= r13) r+= (n - r3)/slope;
if(n < r3)   r-= (r3 - n)/slope;

一个牛顿的步骤就足够了，但是你可能已经走了一步(或者更多？)错误。您可以使用最终检查和增量步骤检查/修复这些问题，如在OQ中：

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while(r*r*r > n) --r;
while((r+1)*(r+1)*(r+1) <= n) ++r;

或者一些这样的。

(我承认我很懒惰；正确的做法是仔细检查以确定哪些(如果有的话)检查和增量操作实际上是必要的…)

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// On my pc: Math.Sqrt 35 ns, cbrt64 <70ns, cbrt32 <25 ns, (cbrt12 < 10ns)

// cbrt64(ulong x) is a C# version of:
// http://www.hackersdelight.org/hdcodetxt/acbrt.c.txt     (acbrt1)

// cbrt32(uint x) is a C# version of:
// http://www.hackersdelight.org/hdcodetxt/icbrt.c.txt     (icbrt1)

// Union in C#:
// http://www.hanselman.com/blog/UnionsOrAnEquivalentInCSairamasTipOfTheDay.aspx

using System.Runtime.InteropServices;  
[StructLayout(LayoutKind.Explicit)]  
public struct fu_32   // float <==> uint
{
[FieldOffset(0)]
public float f;
[FieldOffset(0)]
public uint u;
}

private static uint cbrt64(ulong x)
{
    if (x >= 18446724184312856125) return 2642245;
    float fx = (float)x;
    fu_32 fu32 = new fu_32();
    fu32.f = fx;
    uint uy = fu32.u / 4;
    uy += uy / 4;
    uy += uy / 16;
    uy += uy / 256;
    uy += 0x2a5137a0;
    fu32.u = uy;
    float fy = fu32.f;
    fy = 0.33333333f * (fx / (fy * fy) + 2.0f * fy);
    int y0 = (int)                                      
        (0.33333333f * (fx / (fy * fy) + 2.0f * fy));    
    uint y1 = (uint)y0;                                

    ulong y2, y3;
    if (y1 >= 2642245)
    {
        y1 = 2642245;
        y2 = 6981458640025;
        y3 = 18446724184312856125;
    }
    else
    {
        y2 = (ulong)y1 * y1;
        y3 = y2 * y1;
    }
    if (y3 > x)
    {
        y1 -= 1;
        y2 -= 2 * y1 + 1;
        y3 -= 3 * y2 + 3 * y1 + 1;
        while (y3 > x)
        {
            y1 -= 1;
            y2 -= 2 * y1 + 1;
            y3 -= 3 * y2 + 3 * y1 + 1;
        }
        return y1;
    }
    do
    {
        y3 += 3 * y2 + 3 * y1 + 1;
        y2 += 2 * y1 + 1;
        y1 += 1;
    }
    while (y3 <= x);
    return y1 - 1;
}

private static uint cbrt32(uint x)
{
    uint y = 0, z = 0, b = 0;
    int s = x < 1u << 24 ? x < 1u << 12 ? x < 1u << 06 ? x < 1u << 03 ? 00 : 03 :
                                                         x < 1u << 09 ? 06 : 09 :
                                          x < 1u << 18 ? x < 1u << 15 ? 12 : 15 :
                                                         x < 1u << 21 ? 18 : 21 :
                           x >= 1u << 30 ? 30 : x < 1u << 27 ? 24 : 27;
    do
    {
        y *= 2;
        z *= 4;
        b = 3 * y + 3 * z + 1 << s;
        if (x >= b)
        {
            x -= b;
            z += 2 * y + 1;
            y += 1;
        }
        s -= 3;
    }
    while (s >= 0);
    return y;
}

private static uint cbrt12(uint x) // x < ~255
{
    uint y = 0, a = 0, b = 1, c = 0;
    while (a < x)
    {
        y++;
        b += c;
        a += b;
        c += 6;
    }
    if (a != x) y--;
    return y;
}

我会研究如何用手来做，然后把它转换成一个计算机算法，在基2而不是基10中工作。

最后我们得到一个类似(伪代码)的算法：

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Find the largest n such that (1 << 3n) < input.
result = 1 << n.
For i in (n-1)..0:
    if ((result | 1 << i)**3) < input:
        result |= 1 << i.

我们可以通过观察按位或等价于加法，重构到result**3 + 3 * i * result ** 2 + 3 * i ** 2 * result + i ** 3，在迭代之间缓存result**3和result**2的值，并使用移位而不是乘法来优化(result | 1 << i)**3的计算。

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