关于语言不可知：每次递归都可以转换为迭代吗？

Can every recursion be converted into iteration?

一条Reddit的线索提出了一个显然很有趣的问题：

Tail recursive functions can trivially be converted into iterative functions. Other ones, can be transformed by using an explicit stack. Can every recursion be transformed into iteration?

(柜台？)文章中的例子是：

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(define (num-ways x y)
(case ((= x 0) 1)
((= y 0) 1)
(num-ways2 x y) ))

(define (num-ways2 x y)
(+ (num-ways (- x 1) y)
(num-ways x (- y 1))

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你能总是把一个递归函数变成一个迭代函数吗？是的，绝对如此，而丘奇图灵理论证明了这一点，如果记忆起作用的话。在LAY术语中，它指出递归函数可计算的内容是由迭代模型(如图灵机)计算的，反之亦然。本文并没有准确地告诉您如何进行转换，但它确实说这是绝对可能的。

在许多情况下，转换递归函数很容易。Knuth提供了"计算机编程艺术"中的几种技术。通常，递归计算的东西可以用一种完全不同的方法在更少的时间和空间内进行计算。典型的例子是斐波那契数或其序列。你的学位计划中肯定遇到了这个问题。

另一方面，我们可以想象一个先进的编程系统，将公式的递归定义视为对先前结果的记忆邀请，从而提供速度优势，而无需麻烦地告诉计算机在使用递归定义的公式的计算中要遵循哪些步骤。Dijkstra几乎可以肯定地想象出这样一个系统。他花了很长时间试图将实现与编程语言的语义分离开来。此外，他的非确定性和多处理编程语言在实践专业编程人员中处于领先地位。

在最后的分析中，许多函数都是简单的，易于理解、读取和以递归的形式写入。除非有令人信服的原因，否则您可能不应该(手动)将这些函数转换为显式迭代算法。您的计算机将正确处理该作业。

我可以看到一个令人信服的原因。假设您有一个超高级语言的原型系统，比如[穿石棉内衣]方案、Lisp、Haskell、Ocaml、Perl或Pascal。假设条件是这样的，您需要在C或Java中实现。(也许是政治原因)然后你当然可以有一些递归编写的函数，但如果按照字面意思翻译的话，这些函数会爆炸你的运行时系统。例如，无限尾递归在方案中是可能的，但相同的习惯用法会给现有的C环境带来问题。另一个例子是使用词汇嵌套函数和静态范围，Pascal支持但C不支持。

在这种情况下，你可能会试图克服对原语的政治阻力。你可能会发现自己很难重新实现口齿不清，就像格林斯潘的第十定律一样。或者你可以找到一个完全不同的解决方法。但无论如何，肯定有办法。

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教会图灵还没有被证明吗？
这里有一个非常简短的提纲：选择两个计算模型A和B。通过使用A编写B的解释器来证明A至少和B一样强大。在两个方向上都这样做，你已经证明了A和B具有相等的能力。考虑到机器代码几乎是图灵机器模型，并且存在Lisp解释器/编译器。辩论应该结束。但有关更多信息，请参见：alanturing.net/turing_archive/pages/reference%20Articles/&hellip；
伊恩，我不确定这是否能证明每个人都有同等的力量，只是每个人都有同等的力量。使用表明了某些能力，但不一定是它们的范围。
@眼睑松弛：如果你能在B中实现A，这意味着B至少有A的力量。如果你不能在A-implementation-of-B中执行A的某些语句，那么它就不是一个实现。如果a可以在b中实现，b可以在a中实现，则power(a)>=power(b)，power(b)>=power(a)。唯一的解决方案是电源(A)==电源(B)。
这个答案是否取决于(迭代)语言的限制程度？如果语言对goto语句的使用非常有限怎么办？程序如何能够"记住"上一次从中调用递归/迭代的指令，而不需要某种返回地址？
@韦伯斯特，你不能得到比图灵机器更有限的东西-gotos？哈哈，太高级了。您可以查看非正式定义，以了解您需要什么来获得与任何现代迭代编程语言相同的功能。
回复：第一段：你说的是计算模型的等价性，而不是教会图灵论。丘奇和/或图灵已经很好地证明了这种等效性，但这不是论文。本文是一个实验性的事实，即所有直观可计算的东西都是严格数学意义上的可计算(通过图灵机/递归函数等)。如果使用物理定律，我们可以建立一些非经典的计算机来计算图灵机器所不能做的事情(例如，停止问题)，这可能是不成立的。而等价性是一个数学定理，不会被推翻。
这个答案究竟是如何得到积极的选票的？首先，它将图灵完整性与教堂图灵论文混合在一起，然后它会做出一堆错误的手势，提到"高级"系统，并丢弃懒惰的无限尾递归(您可以在C或任何图灵完整语言中这样做，因为..休斯敦大学。。有人知道图灵完备是什么意思吗？)然后一个充满希望的手拿结论，像这是一个关于奥普拉的问题，你所需要的是积极和振奋？可怕的回答！
语义学的理学学士？？？？真的？这是一个关于句法转换的问题，不知何故，它成为了一个很好的命名方法，并暗示你对π微积分有所了解？让我澄清一下：一个人看一种语言或其他模型的外延语义，对这个问题的答案没有影响。无论该语言是汇编语言还是生成域建模语言，都毫无意义。它只涉及图灵完整性和将"栈变量"转换为"栈变量"。
如果任何递归函数都可以转换为非递归版本，那么编译器为什么不这样做呢？如果可能的话，由于性能开销和递归方法的问题，编写非递归方法是常见的建议。
@实际上，函数语言(和许多Lisp)的编译器通常会应用几种技术，自动将一大类递归查找定义转换为不占用堆栈空间的对象代码。但在任何情况下，通过考虑CPU运行fetch-execute迭代，可以将对象代码视为迭代代码。
将递归函数转换为其他实现的一些其他实际原因：(1)您希望在复杂的数据结构上编写迭代器类，但没有与C的yield等效的类。(2)您有许多正在执行的联合进程，您不希望(或不能)将它们作为单独的线程来实现。这在执行数据流图的算法中可以看到，在这些算法中，为每个顶点分配线程可能是不现实的。
@墨菲斯迭代不是魔法。如果一个递归函数在一次调用(例如合并排序)中多次调用自己，那么它需要无限的内存空间，并且通过迭代实现它不会改变这一点，您只需要手动管理一个堆栈。但是，许多自然递归算法每次调用只调用自己一次，并且可以作为尾调用编写。尾调用可以在固定内存空间中工作，但需要编译器进行特殊处理。告诉用户手动转换为迭代意味着编译器编写器可以做其他事情。
倒过来怎么样？你能总是把迭代函数变成递归函数吗？
@用户1870400，可以。根据一个定义，迭代函数是以原始递归开始的。但是，如果您的目标是在不使用显式循环构造的情况下编写它，那么一个相应设计的递归调用就代表了该构造。这些细节是任何函数编程课程的一部分。
[穿石棉内裤]本身应该得50分。-)
@用户1870400迭代函数已经是(原语-)递归函数。手术是真空的。

Is it always possible to write a non-recursive form for every recursive function?

对。一个简单的形式证明是μ递归和goto等非递归微积分都是图灵完备的。由于所有图灵完备演算在表达能力上都是严格等价的，因此所有递归函数都可以通过非递归图灵完备演算实现。

不幸的是，我找不到一个好的，正式的goto在线定义，所以这里有一个：

goto程序是在寄存器机器上执行的一系列命令p，其中p是以下命令之一：

HALT停止执行
r = r + 1，其中r是任何寄存器
r = r – 1，其中r是任何寄存器
GOTO x，其中x是标签
IF r ≠ 0 GOTO x，其中r是任何寄存器，x是标签。
标签，后跟上述任何命令。

但是，递归函数和非递归函数之间的转换并不总是简单的(除非通过无意识的手动重新实现调用堆栈)。

有关更多信息，请参阅此答案。

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递归在实际的解释器或编译器中实现为堆栈或类似的构造。因此，您当然可以将递归函数转换为迭代函数，因为它总是这样做的(如果是自动的)。您只需临时复制编译器的工作，而且可能会以非常丑陋和低效的方式进行复制。

基本上是的，本质上，您最终要做的是将方法调用(它隐式地将状态推送到堆栈上)替换为显式堆栈推送，以记住"上一个调用"到达的位置，然后执行"被调用的方法"。

我可以想象，通过基本上模拟方法调用，循环、堆栈和状态机的组合可以用于所有场景。总的来说，这是否会"更好"(或者更快，或者在某种意义上更有效)是不可能的。

递归函数执行流可以表示为树。
同样的逻辑也可以通过一个循环来完成，它使用一个数据结构来遍历该树。
深度优先遍历可以使用堆栈完成，宽度优先遍历可以使用队列完成。

所以，答案是：是的。原因：https://stackoverflow.com/a/531721/2128327。

Can any recursion be done in a single loop? Yes, because

a Turing machine does everything it does by executing a single loop:

fetch an instruction,

evaluate it,

goto 1.

是的，显式使用一个堆栈(但是递归更容易阅读，imho)。

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是的，总是可以编写非递归版本。简单的解决方案是使用堆栈数据结构并模拟递归执行。

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原则上，对于数据结构和调用堆栈，总是可以删除递归并用具有无限状态的语言中的迭代替换它。这是教会图灵论的一个基本结论。

给定一种实际的编程语言，答案就不那么明显了。问题是，很可能有一种语言，在这种语言中，可以在程序中分配的内存量是有限的，但是可以使用的调用堆栈量是无限的(32位C，其中堆栈变量的地址是不可访问的)。在这种情况下，递归更强大，因为它可以使用更多的内存；没有足够的显式可分配内存来模拟调用堆栈。有关此问题的详细讨论，请参阅此讨论。

有时替换递归比这容易得多。递归曾经是20世纪90年代在CS中流行的东西，所以从那时起，很多普通的开发人员认为，如果用递归解决某个问题，它是一个更好的解决方案。所以他们会使用递归，而不是向后循环来颠倒顺序，或者像这样愚蠢的事情。所以有时候删除递归是一个简单的"duh，那是显而易见的"类型的练习。

随着时尚转向了其他技术，这现在已经不再是一个问题了。

所有可计算函数都可以由图灵机计算，因此递归系统和图灵机(迭代系统)是等效的。

It is possible to convert any recursive algorithm to a non-recursive
one, but often the logic is much more complex and doing so requires
the use of a stack. In fact, recursion itself uses a stack: the
function stack.

更多详细信息：https://developer.mozilla.org/en-us/docs/web/javascript/guide/functions

看看维基百科上的以下条目，你可以把它们作为一个起点来找到你问题的完整答案。

计算机科学中的递归
递推关系

以下段落可能会提示您从何处开始：

Solving a recurrence relation means obtaining a closed-form solution: a non-recursive function of n.

还可以看一下这一条的最后一段。

从显式堆栈开始，将递归转换为迭代的另一种模式是使用蹦床。

在这里，函数要么返回最终结果，要么关闭它本来应该执行的函数调用。然后，initiating(trampolining)函数继续调用返回的闭包，直到达到最终结果。

这种方法适用于相互递归的函数，但恐怕它只适用于尾部调用。

http://en.wikipedia.org/wiki/蹦床(计算机)

删除递归是一个复杂的问题，在定义良好的情况下是可行的。

下面的例子很简单：

尾部递归
直接线性递归

我会说是的-函数调用只是一个goto和一个堆栈操作(大致来说)。您所需要做的只是模仿在调用函数时构建的堆栈，并执行类似于goto的操作(您可以使用不显式包含此关键字的语言来模仿goto)。

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tazzego，递归意味着不管您喜欢与否，函数都会调用自己。当人们谈论事情是否可以在不使用递归的情况下完成时，他们的意思是这样的，你不能说"不，那不是真的，因为我不同意递归的定义"作为一个有效的陈述。

考虑到这一点，你所说的一切都是胡说八道。你说的唯一一件不是胡说八道的事情就是你无法想象没有调用堆栈的编程。这是几十年来一直在做的事情，直到使用调用堆栈变得流行。Fortran的旧版本缺少一个调用堆栈，它们工作得很好。

顺便说一下，图灵完备的语言只实现递归(例如sml)作为循环的一种方式。也存在图灵完整语言，它们只实现迭代作为循环的一种手段(例如Fortran IV)。丘奇图灵理论证明了在递归语言中任何可能的事情都可以在非递归语言中完成，反之亦然，因为它们都具有图灵完备性的特性。

下面是一个迭代算法：

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def howmany(x,y)
a = {}
for n in (0..x+y)
for m in (0..n)
a[[m,n-m]] = if m==0 or n-m==0 then 1 else a[[m-1,n-m]] + a[[m,n-m-1]] end
end
end
return a[[x,y]]
end

一个问题：如果作为第一件事，函数在一个随机的空内存空间中复制自己，然后不调用自己，而是调用副本，那么这仍然是递归吗？(1)我同意。

堆栈的显式使用是移除递归的真正方法吗？(2)我会说不，基本上，我们不是在模仿当我们使用显式递归时会发生什么吗？我相信我们不能简单地将递归定义为"调用自身的函数"，因为我在"复制代码"(1)和"显式使用堆栈"(2)中也看到了递归。

此外，我不知道CT如何证明所有递归算法都可以迭代。它似乎只对我说，"一切"有"权力"的图灵机器可以表达所有算法，这可以表达。如果图灵机不能递归，我们确信每一个递归算法都有它的交互翻译…图灵机能递归吗？据我所知，如果它可以"实现"(任何方式)，那么我们可以说它已经实现了。是吗？我不知道。

我所知道的所有真正的CPU都可以递归。老实说，如果没有调用堆栈，我就看不到如何为real编程，我认为这就是递归首先可能的原因。

避免复制(1)和"模仿堆栈"(2)，我们是否证明了在实际机器上，每个递归算法都可以迭代地表示？！我看不出我们在哪里演示的。