关于python:大数据集上的广义最小二乘

Generalized least square on large dataset

我想对未独立采样的数据进行线性拟合。我遇到了广义最小二乘法:

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b=(X'*V^(-1)*X)^(-1)*X'*V^(-1)*Y

方程为Matlab格式; XY 是数据点的坐标,V 是"方差矩阵"。

问题在于,由于它的大小(1000 行和列),V 矩阵变得奇异,因此不可逆。有关如何解决此问题的任何建议?也许使用解决 GLS 以外的广义线性回归问题的方法?我可以使用并且(稍微)熟悉的工具是 Numpy/Scipy、R 和 Matlab。


代替:

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b=(X'*V^(-1)*X)^(-1)*X'*V^(-1)*Y

使用

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b= (X'/V *X)\\X'/V*Y

即用X/Y 替换X*(Y^-1) 的所有实例。 Matlab 将跳过计算逆(这很困难,而且容易出错)并直接计算除法。

编辑:即使使用最好的矩阵操作,某些操作也是不可能的(例如导致您描述的错误)。

可能与您的问题相关的一个示例是,如果尝试在多个测量值完美、100% 相关的约束下解决最小二乘问题。除了在极少数情况下,这在数学或物理上都无法实现。您需要在测量中具有一定的独立性,以解决测量噪声或建模错误。例如,如果您有两个测量值,每个测量值的方差为 1,并且完全相关,那么您的 V 矩阵将如下所示:

1
2
V = [1   1; ...
     1   1];

而且你永远无法适应数据。 (这通常意味着你需要重新制定你的基函数,但那是一篇更长的文章。)

但是,如果您调整测量方差以允许测量之间存在少量独立性,那么它会毫无问题地工作。例如,95% 的相关测量看起来像这样

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2
V = [1      0.95; ...
     0.95   1  ];


您可以使用奇异值分解作为求解器。它会尽力做到最好。

我通常以另一种方式考虑最小二乘。你可以在这里阅读我的想法:

http://www.scribd.com/doc/21983425/Least-Squares-Fit

看看这是否更适合你。

我不明白大小是个问题。如果您有 N 个 (x, y) 对,您仍然只需要求解 M 阶多项式中的 (M 1) 个系数:

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y = a0 + a1*x + a2*x^2 + ... + am*x^m