Green-Ampt 入渗模型，用来研究初始干燥土壤的浅层积水下渗问题。Green-Ampt MODEL存在明显的水平湿润锋（sharp wetting front），湿润锋将干燥土壤与湿润土壤分开，湿润锋上的湿润土壤达到饱和（田间持水量），一般下渗情况湿润锋下移的过程中，越靠近地表的土壤越快饱和，但是在Green-Ampt MODEL中假设湿润锋下移会导致土壤从干燥状态（初始含水量）立即达到饱和状态（田间持水量）。

Green-Ampt的水分运动分为重力作用和基质作用两部分，饱和土壤中的水分有重力作用，干燥土壤因为毛管作用会有基质作用以及干燥土壤中的水分也有重力作用，因此在Green-Ampt MODEL中水会因为势能一直向下运动（模型只考虑土壤中水分向下运动，不考虑横向移动等）。

Green-Ampt初始条件：
（1）假设土壤为均质土剖面，地表以下土壤孔隙度和导水率随深度不变；
（2）无water table，capillary fringe（毛细水带），impermeable layer；
（3）无蒸发；
（4）初始土壤含水量小于饱和土壤含水量；
（5）每个时间步中初始田间保持不变；

一、Green-Ampt

Green-Ampt下渗速率基于达西定律，（1a）中Ks（饱和导水率）相当于达西定律中土壤渗透系数，dh/dz就是水力坡度，（1b）与（1c） 均由（1a）推导出来，（1c）中两个变量分别是基质作用以及湿润锋距离地表的距离（重力作用），因为下面公式（2），Zf也可以换成F（累积渗透水量）


将（2）（1c）公式联立解出（3a）（下渗速率与累积渗透量的公式），在地面出现积水前（tp前，p是pounding的缩写），降雨全部均渗入地面，下渗速率等于雨强；在地面出现积水后，下渗速率不等于雨强，需要通过（3a）计算


将（3a）与上面的公式联立，两面积分得到（4），知道F（累积渗透量）可以求得t，但是如果知道t求F，需要通过牛顿迭代法或其他迭代法，以上均是计算tp后的情况

二、改进Green-Ampt

之前Green-Ampt的土壤导水率是常数的，增加了土壤分层的情况。一般土壤层内的水力特性比层间的水力特性更稳定，为了让土壤层间的水力特性更加连续，一般认为水力特性随深度变化更合适。

导水率随深度变化的公式

渗透速率的公式，分子与之前一样，基质作用加上重力作用，分母地表以下的积分代表累积渗透量，除以导水率可以理解为等于时间


联立以上方程组解出渗透速率与Ip（Ip是截止到tp为止的累积渗透量）的方程

跟之前解法一样，渗透速率同时等于累积渗透量对时间的求导，联立两个方程，两边积分求出公式（8），公式（8）知道累积渗透量求时间同样需要牛顿迭代法，公式虽然比之前的复杂，但因为有级数收敛迅速，代码运行效果估计会更好

三、代码

用上面公式（6），二分法迭代计算Ip（截止tp的累积渗透量），因为tp是一个转变时间点，tp前下渗速率等于雨强，所以这里用下渗速率与雨强的比较作为判断条件


Ip（截止tp的累积渗透量）减去I（上一个时间步截止的累积渗透量），相当于这个时间步中截止到tp为止的渗透量，与降雨量对比，判断有无积水，没有积水代表雨水全部渗透，更新I作为下一个时间步的输入



如果有积水，需要计算tp，再通过牛顿迭代法计算t_end（时间步结束时）的累积渗透量，这里的初始值设为Ip加上t_end到t_tp一半的降雨量

将计算得到的t_end时累积渗透量更新I（累积渗透量），为下一个时间步做准备