首先复习一下在

$x_0$

x0?处的泰勒展开式和长除法：

$f(x)=\sum _{i=0}^n\frac{f^{(i)}(x_0)(x?x_0{)}^i}{i!}$

f(x)=i=0∑n?i!f(i)(x0?)(x?x0?)i?

假设要求

$f(x)=2x^3+5x^2?3x+6$

f(x)=2x3+5x2?3x+6在2点处的泰勒展开式：

1. 将3带入泰勒展开公式：
   $f(x)=36+41(x?2)+17(x?2{)}^2+2(x?2{)}^3$

   f(x)=36+41(x?2)+17(x?2)2+2(x?2)3

2. 利用长除法：

由此可得：

$$\begin{gathered} f(x)=(x?2)\{(x?2)[2(x?2)+17]+41\}+36 \\ =36+41(x?2)+17(x?2{)}^2+2(x?2{)}^3 \end{gathered}$$
=36+41(x-2)+17(x-2)^2+2(x-2)^3

f(x)=(x?2){(x?2)[2(x?2)+17]+41}+36=36+41(x?2)+17(x?2)2+2(x?2)3

3. 综合除法：

由此可得：

$f(x)=2(x?2{)}^3+17(x?2{)}^2+41(x?3)+36$

f(x)=2(x?2)3+17(x?2)2+41(x?3)+36

综上可知：综合除法复杂度大大小于长除法！！