A-Weighting（A计权网络）

前言

通常，所有SLM（声级计）设备都采用频率计权滤波器来调整所测得的噪声值，而现在市面上流通的声级计一般会提供A和C两种计权的支持，但是通常情况下，我们都采用A计权进行测量，因为A计权与人类的主观感知有很好的相关性，针对人耳对低频信号不那么敏感的情况进行了补偿，并且常常用于测量环境噪声，其测量单位为dBA。

A计权频域实现

在国家标准GB/T 3785.1-2010中，给出了A频率计权滤波器的计算公式，见下式1

\begin{matrix} A (f) = 20 l o g_{10} [\frac{f_{4}^{2} f^{2}}{(f^{2} + f_{1}^{2}) (f^{2} + f_{2}^{2})^{1 / 2} (f^{2} + f_{3}^{2}) (f^{2} + f_{4}^{2})^{1 / 2}}] & (公式1) \end{matrix} A(f)=20log_{10}[\frac{f_4^2f^2}
{
(f^2+f_1^2)
(f^2+f_2^2)^{1/2}
(f^2+f_3^2)
(f^2+f_4^2)^{1/2}
} ]\tag{公式1}

A(f)=20log10?[(f2+f12?)(f2+f22?)1/2(f2+f32?)(f2+f42?)1/2f42?f2?](公式1)
其中，

f_{1} = 20.60 H z ， f_{2} = 107.7 H z ， f_{3} = 737.9 H z ， f_{4} = 12194 H z ， A_{1000} f_1=20.60 Hz，f_2=107.7 Hz，f_3=737.9 Hz，f_4=12194 Hz，A_{1000}

f1?=20.60Hz，f2?=107.7Hz，f3?=737.9Hz，f4?=12194Hz，A1000?是以分贝表示的归一化常数，相应于在1kHz提供0dB频率计权所需的电增益，修约到最近的0.001dB则有

A_{1} 000 = ? 2.000 d B A_1000=-2.000 dB

A1?000=?2.000dB。
其MATLAB代码如下所示。

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clc;clear all;
f1=20.60;
f2=107.7;
f3=737.9;
f4=12194;
SampleRate=44100;
A= zeros(1,SampleRate);
dBA= zeros(1,SampleRate);
k= zeros(1,SampleRate);
for i=1:SampleRate;
k(i)=i;
f=i^2;
A(i)=(1.2588966*(148693636*f^2)/((f+424.3600)*((f+1.1599e+04)*(f+5.4450e+05))^(1/2)*(f+148693636)));
dBA(i)=20*log10(1.2588966*(148693636*f^2)/((f+424.3600)*((f+1.1599e+04)*(f+5.4450e+05))^(1/2)*(f+148693636)));
end
A=A(:,11:SampleRate);
dBA=dBA(:,11:SampleRate);
k=k(:,11:SampleRate);
figure();
plot(k,A);
xlabel('Frequency Hz');
ylabel('Gain Amplitude');
figure();
semilogx(k,dBA,'r');
grid on %标注格栅
xlabel('Frequency (Hz)');
ylabel('Gain dB');

由上述代码可得下面的图1跟图2。
图1是在10 Hz - 20 kHz频率范围内的A计权网络幅度谱图。
在这里插入图片描述
图2是图1的对数形式，单位为dB（A）。

A计权时域实现

在计算A计权瞬时声压级时，较之频域滤波器，时域滤波器不需要经过FFT和IFFT的计算。根据式1，将其dB增益化为幅度增益，即转化为未取对数的公式，并且将自然频率转化为模拟角频率，可得下式2。

\begin{matrix} A (Ω) = 1 0^{\frac{? A_{1000}}{20}} \frac{Ω_{4}^{2} Ω^{4}}{(Ω^{2} + Ω_{1}^{2}) (Ω^{2} + Ω_{2}^{2})^{\frac{1}{2}} (Ω^{2} + Ω_{3}^{2})^{\frac{1}{2}} (Ω^{2} + Ω_{4}^{2})} & (公式2) \end{matrix} A(Ω)=10^{\frac{-A_{1000}}{20}}
\frac{Ω_4^2Ω^4}
{(Ω^2+Ω_1^2 )(Ω^2+Ω_2^2 )^\frac12 (Ω^2+Ω_3^2 )^\frac12(Ω^2+Ω_4^2 )}\tag{公式2}

A(Ω)=1020?A1000??(Ω2+Ω12?)(Ω2+Ω22?)21?(Ω2+Ω32?)21?(Ω2+Ω42?)Ω42?Ω4?(公式2)
为了设计数字滤波器，我们可以先通过上式推出S复数域的传递函数，然后利用双线性变换法设计对应的IIR数字滤波器。我们首先来观察一个一阶系统，如下式3所示。

\begin{matrix} H (S) = \frac{1}{S + Ω_{1}} & (公式3) \end{matrix} H(S)=\frac1{S+Ω_1}\tag{公式3}

H(S)=S+Ω1?1?(公式3)
由信号与系统的知识，令公式3中的S=JΩ，可以得到系统的频域表示，并求其系统的幅频响应，如下式4所示。

\begin{matrix} ∣ H (S) ∣ = \sqrt{\frac{1}{Ω^{2} + Ω_{1}^{2}}} & (公式4) \end{matrix} |H(S)|=\sqrt{\frac1{Ω^2+Ω_1^2}}\tag{公式4}

∣H(S)∣=Ω2+Ω12?1?
通过分析，我们发现式4很像式2中分母的一部分，而一个系统可以看成多个子系统级联起来的，级联的幅频响应是乘积关系，因此我们很容易联想到公式2是由6个一阶系统、1个四阶微分系统和常数增益环节构成，因此级联后的A计权系统的传递函数如下式5所示。

\begin{matrix} A (S) = 1 0^{\frac{? A_{1000}}{20}} \frac{Ω_{4}^{2} S^{4}}{(S^{2} + Ω_{1}^{2})^{2} (S^{2} + Ω_{2}^{2}) (S^{2} + Ω_{3}^{2}) (S^{2} + Ω_{4}^{2})^{2}} & (公式5) \end{matrix} A(S)=10^
\frac{-A_{1000}}{20}
\frac{Ω_4^2S^4}
{(S^2+Ω_1^2 )^2 (S^2+Ω_2^2 )(S^2+Ω_3^2 ) (S^2+Ω_4^2 )^2 }\tag{公式5}

A(S)=1020?A1000??(S2+Ω12?)2(S2+Ω22?)(S2+Ω32?)(S2+Ω42?)2Ω42?S4?(公式5)
接下来利用MATLAB里面的双线性变换函数，计算滤波器系数，代码如下所示。

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clc;clear all;
Fs=44100;
f1 = 20.598997;
f2 = 107.65265;
f3 = 737.86223;
f4 = 12194.217;
A1000 =1.9997;
pi = 3.14159265358979;
NUMs = [ (2*pi*f4)^2*(10^(A1000/20)) 0 0 0 0 ];
DENs = conv([1 4*pi*f4 (2*pi*f4)^2],[1 4*pi*f1 (2*pi*f1)^2]);
DENs = conv(conv(DENs,[1 2*pi*f3]),[1 2*pi*f2]);
[B,A] = bilinear(NUMs,DENs,Fs);
fvtool(B,A) % Visualize the filter

通过上述的MATLAB代码，即可得到该数字滤波器的分子分母系数数组分别如下所示(

f_{s} = 44100 H z f_s=44100Hz

fs?=44100Hz)。

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%****************** the runing result **************************
% B = 0.2557 -0.5115 -0.2557 1.0230 -0.2557 -0.5115 0.2557
% A = 1.0000 -4.0196 6.1894 -4.4532 1.4208 -0.1418 0.0044
%******************* the runing result**************************

其滤波器的幅频响应如下图3所示。
在这里插入图片描述
我们采用IIR直接Ⅱ型来实现上述滤波器，其公式如下式6所示。

\begin{matrix} y (n) = \sum_{i = 0}^{N} b_{i} x (n ? i) ? \sum_{j = 1}^{N} a_{j} y (n ? j) & (公式6) \end{matrix} y(n)=\sum_{i=0}^N{b_ix(n-i)}-\sum_{j=1}^N{a_jy(n-j)}\tag{公式6}

y(n)=i=0∑N?bi?x(n?i)?j=1∑N?aj?y(n?j)(公式6)
其中，x为采样点输入数组，y为经过A计权采样点的输出数组，n为数组内采样点编号，且1≤n≤BS(Block Size)；a为滤波器分母系数数组，b为滤波器分子系数数组， N为数组下标，且 0≤N≤6；假设所有初试条件为0。式中可以看出， FIR滤波器的输出不仅与现在的输入有关，还与过去的输入有关。
最后，利用代码实现式6，Java代码如下所示。

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public static double[] IIRFilter(double[] signal, double[] a,double[] b) {
double[]in = new double[b.length];
double[]out = new double[a.length-1];
double[]outData = new double[signal.length];
for (int i = 0; i < signal.length; i++) {
System.arraycopy(in, 0, in, 1, in.length - 1);
in[0] = signal[i];
//calculate y based on a and b coefficients
//and in and out.
float y = 0;
for(int j = 0 ; j < b.length ; j++){
y += b[j] * in[j];
}
for(int j = 0;j < a.length-1;j++){
y -= a[j+1] * out[j];
}
//shift the out array
System.arraycopy(out, 0, out, 1, out.length - 1);
out[0] = y;
outData[i] = y;
}
return outData;
}

总结

前面我们讲述了A-Weighting（A计权网络）的频域和时域的原理思路及其实现方式，并贴出了相应的实现代码，希望读者们能各取所需，如有问题，欢迎读者们批评斧正。

感谢

感谢默默为我们提供优质博客讲解的作者们，非常感谢！
下面附上参考资料的链接：
A计权时域实现原理
IIR滤波器Java实现
如有任何侵权的地方，希望作者联系我，我将移除相关内容，再次感谢！