信息光学：第二章：标量衍射理论


本文为学习笔记，面对排山倒海的压力更要加油！！！

2.1 基尔霍夫衍射理论
2.2 衍射规律的频率表达
2.3 菲涅耳衍射与夫琅禾费衍射
2.4 衍射的巴比涅原理

光在传播过程中，除了发生反射、折射以外，还会发生偏离直线传播的现象，称为光的衍射。
矢量波衍射理论，数学运算相当复杂，其计算方法实际上是数值方法。在实际中也只有少数领域使用相关理论。
在大多数情况下，仍可以把光波场当成标量场来处理，即只考虑光矢量的一个横向分量的标量振幅，而假定任何别的有关分量都可以用同样方式独立处理，从而忽略电矢量和磁矢量的各个分量按麦克斯韦方程组的耦合关系。——标量衍射理论
标量衍射理论的核心问题可以归结为：用确定边界上的复振幅分布来表达光场中任一观察点的复振幅，如果边界面上复振幅分布相同，即使光振动的方向不同，所得的结果也应该相同。

惠更斯-菲涅耳原理
对于自由空间传播的单色光波复振幅
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2.1 基尔霍夫衍射理论
（1）亥姆霍兹方程
设用标量函数 u(P,t) 表示在空间 p 点和时间 t 的光扰动，对于线偏振波形可以认为这个函数代表电场强度，考虑频率为 v 的单色光波
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U( P ) 为光扰动的复振幅
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u(P,t) 在每一个无源点上必须满足标量波动方程
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拉普拉斯算符
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对于单色光波场，由于频率恒定，从而对时间的函数关系已知
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则复振幅 U( P ) 已足以描述空间某点的光扰动，它基本包含了所需要的光波空间结构信息

将 u(P,t) 代入标量波动方程，得复振幅必须满足的方程——亥姆霍兹方程
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k 称为波数
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（2）格林定理
标量衍射理论的主要基础
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（3）基尔霍夫积分定理
积分曲面
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要用封闭曲面 S 上的光扰动来表示在 P0 点的光扰动

基尔霍夫积分定理
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意义：衍射光场中任意点 P0 的复振幅 U(P0) 可以用包围 P0 点的任意封闭曲面 S 上各点的波动边界值 U 等求得

（4）平面衍射屏的基尔霍夫衍射公式
平面衍射的基尔霍夫衍射推导
无限大不透明平面上的一个小孔引起的衍射
假定一个光扰动从左面透射到屏幕和孔径上，要计算孔径后面一点 p0 初的光扰动
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基尔霍夫边界条件：
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（5）菲涅耳-基尔霍夫衍射公式
假设孔径是由位于 P2 点处的点源所生的单色球面波照明
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菲涅耳-基尔霍夫衍射公式
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（6）衍射公式与叠加积分
在菲涅耳-基尔霍夫衍射公式中，令
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则
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h 脉冲响应
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光波由 P1 点所在平面传播到 P0 点所在平面的过程实际是一个衍射过程，等效于一个系统，满足叠加积分，为线性系统

2.2 衍射规律的频率表达
之前为空域表达
（1）衍射规律的频域描述
计算角谱用的坐标系
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设有一单色光波沿 z 轴方向投射到衍射屏上，衍射屏后面的场用 U(x,y,0) 表示，观察屏上 P0 的场为 U(x,y,z),G0、Gz 分别为频谱函数，根据傅里叶变换定义有
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上式把 U(x,y,z) 分解成各种空间评率 (fx,fy) 的指数基元集合，每个基元的权重密度为 Gz
频率为 (fx,fy) 的指数基元相当于以方向余弦 cosα = λfx，cos β = λfy，
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传播的平面波，则扰动 U(x,y,z) 为

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扰动 U(x,y,0) 的角谱为

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满足亥姆霍兹方程
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得
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或
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可以用频谱语言描述光波的衍射过程，光波从 z = 0 的平面传播到 z = z 的平面，相应的频谱从 G0 转换成 Gz，并且 P0 点的频谱函数仍可用 P1 出的频谱函数表示，仅多一个相位因子，表示了角谱的传播

（2）传播现象作为一种线性空间滤波器

下面的公式表示 U(x,y,0) 经过一段距离 z 的自由传播，得到 U(x,y,z)
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则表征这个系统的变换特征的传递函数为
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这就说明，该系统的传递函数相当于一个低通滤波器
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该滤波器的作用是阻止高频信息进入衍射光场
由于截止空间频率的倒数即为系统可分辨的最小空间周期或最小分辨距离，因此在分析一幅图像结构时，比波长还小的精细结构或者空间频率大于 1/λ 的信息，在单色光照明下不能沿 z 方向传播

（3）衍射孔径对角谱的效应
定义孔径的透射率函数（Ui 和 Ut 分别表示紧贴衍射屏前后表明的复振幅分布）
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定义对应频谱函数
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则
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当用一定大小的孔径限制入射光场时，其效果是使入射光场的频谱展宽（孔径越小，频谱展宽越显著）

2.3 菲涅耳衍射与夫琅禾费衍射
前面介绍的最普遍形式的标量衍射理论，得到基尔霍夫衍射公式，但是数学上计算困难，因此有必要进行一些近似
2.3.1 初步近似处理
仍然考虑无限大不透明屏上的一个有限孔径对单色光的衍射
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观察点 P0 的复振幅
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假设
在这里插入图片描述则
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且 r01 和 z 差别不大，则

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上式指数中的 r01 无法简单近似为 z ，因为指数中的 k 很大，一旦 r01 发生很小误差，都可能导致相位差远大于 2π

2.3.2 菲涅耳近似
（1）r01 可以表示为
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二项式展开公式
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得到
在这里插入图片描述由于只考虑 z 轴附近，则
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菲涅耳近似，且这个近似区域成为菲涅耳衍射区
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则菲涅耳衍射公式
在这里插入图片描述（2）菲涅耳衍射的卷积表示
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则
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上式表明，如果把菲涅耳衍射看做一个系统，则这个系统等效于一个线性空间不变系统，从而这种衍射过程必然存在一个相应的传递函数
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总体相位延迟，任何空间频率成分在传播过距离 z 后都要产生
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和空间频率平方有关的相位“色散”
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（3）菲涅耳衍射的傅里叶变换表达
被积函数指数二项展开
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令
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则
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菲涅耳衍射可以看做乘积的傅里叶变换
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2.3.3 夫琅禾费衍射
（1）采用比菲涅耳近似更严格的限制条件
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则
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对相位的影响可以忽略

则夫琅禾费近似为
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这个近似去称为夫琅禾费衍射区

（2）夫琅禾费衍射公式的直观形式
研究实际衍射问题，往往只需要确定衍射花样的相对强度分布
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2.3.4 夫琅禾费衍射和菲涅耳衍射的关系
由上可知，可以按传播距离划分衍射区
夫琅禾费衍射范围包含在菲涅耳衍射范围之内，所以凡是能用来计算菲涅耳衍射的公式都能用来计算夫琅禾费衍射
夫琅禾费近似破坏了衍射过程系统的空间不变特性，故没有专门的传递函数，但是由于菲涅耳衍射区包含夫琅禾费衍射区，故菲涅耳衍射过程的传递函数也适用于夫琅禾费衍射
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2.4 衍射的巴比涅原理
（1）互补屏
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（2）巴比涅原理
U1(P0) 和 U2(P0) 分别表示观察平面上 P0 点产生的衍射光场
U0(P0) 表示 P0 无衍射屏时的光场
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表明，俩个互补屏在观察点所产生的衍射光场，其复振幅之和等于光波自由传播时在该点的复振幅