Python：三维空间的概率密度函数

二维高斯分布

概率密度函数
数据集
实战
优化

坐标轴与图像优化
图像再次优化

概率密度函数

大家肯定都有听说过正态分布，其实正态分布只是概率密度分布的一种，正态分布的概率密度函数均值为μ ，标准差σ是高斯函数的一个实例：

f (x; μ, σ) = \frac{1}{σ \sqrt{2 π}} \exp ? (? \frac{(x ? μ)^{2}}{2 σ^{2}}) f(x ; \mu, \sigma)=\frac{1}{\sigma \sqrt{2 \pi}} \exp \left(-\frac{(x-\mu)^{2}}{2 \sigma^{2}}\right)

f(x;μ,σ)=σ2π
在一维上只有x一个变量，μ 均值，σ标准差。
正态分布具有两个参数μ和σ的连续型随机变量的分布，第一
参数μ是服从正态分布的随机变量的均值，第二个参数σ^2是此随机变量的方差，所以正态分布记作N（μ,σ2）。

实际工作中，正态曲线下横轴上一定区间的面积反映该区间的例数占总例数的百分比，或变量值落在该区间的概率。

因此一维的概率密度分布即正态分布，很好的表示数据在哪个区间集中，使我们对整体数据有一个大概的把握。

本文的重点在于二维概率密度函数：

f (x, y) = {(2 π σ_{1} σ_{2} \sqrt{1 ? ρ^{2}})}^{? 1} \exp ? [? \frac{1}{2 (1 ? ρ^{2})} (\frac{{(x ? μ_{1})}^{2}}{σ_{1}^{2}} ? \frac{2 ρ (x ? μ_{1}) (y ? μ_{2})}{σ_{1} σ_{2}} + \frac{{(y ? μ_{2})}^{2}}{σ_{2}^{2}})] f(x, y)=\left(2 \pi \sigma_{1} \sigma_{2} \sqrt{1-\rho^{2}}\right)^{-1} \exp \left[-\frac{1}{2\left(1-\rho^{2}\right)}\left(\frac{\left(x-\mu_{1}\right)^{2}}{\sigma_{1}^{2}}-\frac{2 \rho\left(x-\mu_{1}\right)\left(y-\mu_{2}\right)}{\sigma_{1} \sigma_{2}}+\frac{\left(y-\mu_{2}\right)^{2}}{\sigma_{2}^{2}}\right)\right]

f(x,y)=(2πσ1?σ2?1?ρ2
因为生活中的很多数据都是高维度的，从简单的二维说起。二维上的数据生活中有很多：身高和体重，血压和血脂等等。如果能够像一维正态分布那样做出图像来看，就十分直观，而本文就是介绍如何作二维概率密度函数的图像。

数据集

首先贴上数据集：
链接：https://pan.baidu.com/s/1RJCwi4-8_hByY6-rCepJgQ
提取码：88ew

数据是截至4.25日的重点国家新冠肺炎感染人数，有中国、美国、法国、意大利等。
本文采取的是中国和意大利进行对比分析。

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import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
import math
import mpl_toolkits.mplot3d
import math
import pandas as pd

data = pd.read_csv('D:/桌面/1.csv')
print(data.head())
x = data.iloc[:,1]
y = data.iloc[:,7]
x = x.values
y = y.values

在这里插入图片描述

实战

首先根据公式我们先把2个维度的均值和方差分别计算出来，以及公式中需要的相关系数。

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u1 = x.mean()
u2 = y.mean()
o1 = x.std()
o2 = y.std()
from scipy.stats import pearsonr
p = pearsonr(x, y)[0]
print(u1, u2, o1, o2, p)

# 输出:(r, p)
# r:相关系数[-1，1]之间
# p:相关系数显著性

相关系数也就是皮尔逊系数，把2个维度数据给入后，会输出相关系数和相关系数显著性。
相关系数取值范围是(-1，1)，越接近1则说明越相关。不过我们也不能说中国感染人数和西班牙感染人数相关，这里更确切地解释应该是感染人数的趋势比较。

1 2	X, Y = np.meshgrid(x, y) z = (1/(2math.pio1o2pow(1-pow(p,2),0.5)))np.exp(-1/(2(1-pp))(((X-u1)(X-u1))/(o1o1)-2p(X-u1)(Y-u2)/(o1o2)+(Y-u2)(Y-u2)/(o2o2)))

这里X,Y是对原始数据进行网格化，其实就相当于最后成果图的横纵坐标，只是转换一下得以输入作图。
z就是上文的二维密度函数用python来表达了。比较麻烦，注意里面有上面算出的2个维度的均值，方差和皮尔逊系数。

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这就是很基础的一些画图设置了，相似的就不再赘述，重点谈谈plot_surface。
plot_surface中的X，Y，z其实上文以及解释过了，就是相应的坐标和函数，那么cmap是什么呢，camp是颜色盘，值定位rainbow就是彩虹色，从下图就可以看出，数据越集中的地方，颜色就越深。这里还有一个颜色盘是coolwarm，不过个人感觉没rainbow好看，不妨小伙伴们试一试。
在这里插入图片描述
到此我们就大概的画出了中国感染人数和西班牙感染人数在4.25之前的密度函数。
这个图我们看出，中国感染人数大概在4-5万就开始达到高峰，之后开始下降，而西班牙到了12万左右才开始下降。整个国家感染人数的增幅一目了然，对于整体数据的把握也有较好的认知。但这样似乎不太好看，而且到底高峰是不是在我说的那个数值呢，根据肉眼都不好判断。所以我们接下来进行优化。

优化

坐标轴与图像优化

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plt.rcParams['font.sans-serif'] = ['KaiTi'] # 用来正常显示中文字符
plt.rcParams['axes.unicode_minus'] = False
plt.figure(figsize=(10,10), dpi=300)
ax = plt.subplot(111, projection='3d')
ax.plot_surface(X, Y, z, rstride=1, cstride=1,
cmap='rainbow', alpha=0.9)
ax.set_xlabel('中国感染人数', fontsize=15)
ax.set_ylabel('西班牙感染人数', fontsize=15)
ax.set_zlabel('频率', fontsize=15)
ax.set_title("二维高斯分布", fontsize=25, y=1.02)

ax.set_xticks(np.arange(0,100000,20000))
ax.set_yticks(np.arange(0,200000,40000))
plt.savefig('D:/桌面/3.png', bbox_inches='tight', pad_inches=0.0)

可能一眼还没看出来。我来讲解一下。博主在plot_surface里面加了 rstride=1, cstride=1,这两个参数有什么作用？相当于步长。这么理解吧，这个颜色实际上是由无数个点组成的，但是实际上就像房子顶上的瓦片一样，如果瓦片比较大，那么房顶面积一定，瓦片就用的少，就像上图一样显得一块一块的，非常大，不过不平滑。而下图呢，加入 rstride=1, cstride=1就相当于定制了瓦片长宽，瓦片比较小那么看起来就舒服，颜色过渡得比上面那个自然多。
把标题和坐标轴都修改一下，title的x，y参数是调位置的，如何使用的话小伙伴们多试几个值就明白了。
plt.savefig里面的bbox_inches=‘tight’, pad_inches=0.0在这里看起里效果似乎不明显。这个作用是减小图片旁边的白色区域。如果感兴趣的小伙伴可以试一下不加和加了这些参数保存出来是什么样的。
在这里插入图片描述

图像再次优化

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plt.rcParams['font.sans-serif'] = ['KaiTi'] # 用来正常显示中文字符
plt.rcParams['axes.unicode_minus'] = False
plt.figure(figsize=(10,10), dpi=300)
ax = plt.subplot(111, projection='3d')
ax.plot_surface(X, Y, z, rstride=1, cstride=1,
cmap='rainbow', alpha=0.9)
ax.set_xlabel('中国感染人数', fontsize=15)
ax.set_ylabel('西班牙感染人数', fontsize=15)
ax.set_zlabel('频率', fontsize=15)
ax.set_title("二维高斯分布", fontsize=25, y=1.02)

ax.set_xticks(np.arange(0,100000,20000))
ax.set_yticks(np.arange(0,200000,40000))
ax.contour(X, Y, z, 15, zdir = 'z', offset = 0, cmap = plt.get_cmap('rainbow'))
ax.w_xaxis.set_pane_color((135/255, 206/255, 250/255, 0.3))
ax.w_yaxis.set_pane_color((135/255, 206/255, 250/255, 0.3))
ax.w_zaxis.set_pane_color((135/255, 206/255, 250/255, 0.3))

plt.savefig('D:/桌面/4.png', bbox_inches='tight', pad_inches=0.0)

作图一方面为了好看，一方面是对数据整体把握更加直观，这里加了ax.w_xaxis.set_pane_color这个方法是对x平面进行上色，个人感觉更好看吧。里面的参数是rgba。
细心的小伙伴已经发现了，这个图比上面的多了好多等高线。这些等高线是这个密度函数在xoy平面的投影，能够更直观的看出到底数据的高峰是在哪。我们直观看出，中国感染人数到达高峰是在6w人左右，而西班牙也是在6w人左右，这和我们前面目测估计的有一点误差。所以ax.contour这个方法将密度函数投影到平面来，更细致的观察数据的分布。其中ax.contour中
15代表是有多少条等高线，zdir=z表示投影到z=？这个平面，而？的数值就是由offset表示，这里显然投影到z=0平面，camp也是和上文意思差不多是颜色盘，彩虹色的。
在这里插入图片描述
效果还是很直观的。