写在前面：卡特兰数这东西感觉挺常用的，并且公式很简单，那就花一下午总结一下，学点皮毛吧（反正遇到我还是不会 ）

文章目录

• 卡特兰数定义
• 卡特兰数的性质
• 卡特兰数证明（折线法）（n和m相同）
• LeetCode 96. 不同的二叉搜索树
• n + 1 个叶子节点能够构成多少种形状不同的满二叉树
• 例：买票
• 例：图书馆借还书
• 例：出栈顺序
• 例：括号匹配
• 例：2*n矩阵（每行递增，每列递增）
• 不相交弦问题
• 例：典型例题
• 提升题：电影购票（n和m不同）
• 参考资料

2018.09 大三上学期 组合数学课堂讲义

卡特兰数定义

卡特兰数的性质

记住前几项：

$C_0$

C0? =1，

$C_1$

C1? = 1，

$C_2$

C2? = 2，

$C_3$

C3? = 5，

$C_4$

C4? = 14

卡特兰数问题一般都存在匹配关系

（1）求组合数形式

$C_n=\frac{\left(\genfrac{}{}{0px}{}{2n}{n}\right)}{n+1}$
C_n = \frac{\binom{2n}{n}}{n + 1}

Cn?=n+1(n2n?)?
求组合数有四种方法，详见：常用算法代码模版4—数学知识
（2）递推形式

$C_n=\frac{4n?2}{n+1}{C}_{n?1}\mathrm{，}\text{其中}{C}_0=C_1=1$
C_n = \frac{4n-2}{n + 1}C_{n-1}，\text{其中}C_0 = C_1 = 1

Cn?=n+14n?2?Cn?1?，其中C0?=C1?=1
可以用递归来求，也可以用记忆化数组来求（空间换时间）

（3）基本公式

$C_{n+1}=\sum _{i=0}^n{C}_i{C}_{n?i}\mathrm{，}\text{其中}{C}_0=C_1=1$
C_{n+1} = \sum _ {i = 0} ^ n C_i C _ {n - i}，\text{其中}C_0 = C_1 = 1

Cn+1?=i=0∑n?Ci?Cn?i?，其中C0?=C1?=1
或者

$f_n=f_0?f_{n?1}+f_1?f_{n?2}+?+f_{n?1}?f_0\mathrm{，}\mathrm{其}\mathrm{中}n>=2$
f_n = f_0 * f_{n-1} + f_1 * f_{n - 2} + \cdots + f_{n-1}*f_0，其中n >= 2

fn?=f0??fn?1?+f1??fn?2?+?+fn?1??f0?，其中n>=2
可以用二重循环求

说明：通常满足上面任意公式的都是卡特兰数

卡特兰数四个公式（简单）

注意：由于卡特兰数增长速度较快，当 n 等于 17 时，卡特兰数将会超过 int 最大值，造成溢出（Python 除外），建议用long long来存。对于 Java 语言来说，可以使用 BigInteger 来计算大整数。

---

—— 摘自Wikipedia

---

卡特兰数证明（折线法）（n和m相同）

卡特兰数

$C_n=\frac{\left(\genfrac{}{}{0px}{}{2n}{n}\right)}{n+1}=\frac{C(2n,n)}{n+1}$

Cn?=n+1(n2n?)?=n+1C(2n,n)?

LeetCode 96. 不同的二叉搜索树

LeetCode 题解 | 96. 不同的二叉搜索树（卡特兰数 C++）

n + 1 个叶子节点能够构成多少种形状不同的满二叉树

满二叉树的每个非叶子结点一定都有左右子树（匹配关系）

使用深度优先搜索这个满二叉树，向左扩展时标记为 +1，向右扩展时标记为 -1

一个卡特兰序列(n + 1个点)对应一棵满二叉树

例：买票

绘画展览门票每张5元，如果有2n个人排队购票，每人一张，并且其中一半人恰有5元钱，另一半人恰有10元钱，而票房无零钱可找，那么如何将这2n个人排成一列，顺次购票，使得不至于因票房无零钱可找而耽误时间，应该采用什么算法解决呢？

例：图书馆借还书

在图书馆一共6个人在排队，3个还《面试宝典》一书，3个在借《面试宝典》一书，图书馆此时没有了面试宝典了，求他们排队的总数？

解：队伍是排成一列的，联想Catalan证明的图

$h(3)=6!\mathrm{/}(3!?4!)=5$

h(3)=6!/(3!?4!)=5，所以

$\text{总数}=h(3)?3!?3!=180$

总数=h(3)?3!?3!=180

注意：算种类时，最后要乘以3!和3!

例：出栈顺序

一个栈(无穷大)的进栈序列为1，2，3，…，n，有多少个不同的出栈序列?

思路
将问题转化为：入栈的数的个数总是要大于或者等于出栈数的个数。进栈相当于+1，出栈相当于-1

如：序列1 2 3的出栈序列可以表示为+1,-1,+1,+1,-1,-1

例：括号匹配

n 对括号，则有多少种 “括号匹配” 的括号序列？

思路
左括号看成 +1，右括号看成 -1，类似进出栈

例：2*n矩阵（每行递增，每列递增）

思路
把第一排看作进栈+1，第二排看作出栈-1，同时要一直保证第一排填充的数大于等于第二排填充的数（递增要求）
按照 1 到 2n 的顺序填入矩阵，

$1$

1 放第一排，对应卡特兰序列中

$x_1=+1$

x1?=+1，…

显然：长度为2n的卡特兰序列与2 X n矩阵的填法一一对应

不相交弦问题

在一个圆周上分布着 2n 个点，两两配对，并在这两个点之间连一条弦，要求所得的 2n 条弦彼此不相交的配对方案数

思路
满足

$f_n=f_0?f_{n?1}+f_1?f_{n?2}+?+f_{n?1}?f_0\mathrm{，}\mathrm{其}\mathrm{中}n>=2$

fn?=f0??fn?1?+f1??fn?2?+?+fn?1??f0?，其中n>=2 的一定是卡特兰数

Leetcode 1259：不相交的握手
这题一看样例就知道是卡特兰数

例：典型例题

提升题：电影购票（n和m不同）

当进栈 +1 有 m 个， 出栈 -1 有 n 个时，序列共有

$C_{m+n}^m?C_{m+n}^{m+1}$

Cm+nm??Cm+nm+1?种可能性

电影票一张 50 coin，且售票厅没有 coin。m 个人各自持有 50 coin，n 个人各自持有 100 coin。则有多少种排队方式，可以让每个人都买到电影票？

思路
持有 50 coin 的人看作 +1，持有 100 coin 的人看作 -1，类似进出栈问题
与卡特兰数不同的是，这里有 m 个 +1，有 n 个 -1

我们还是可以用折线法来解决这个问题：

由于排队有先后顺序，所以总共有

$(C_{m+n}^m?C_{m+n}^{m+1})?m!?n!$

(Cm+nm??Cm+nm+1?)?m!?n!种可能

注：

$C_{m+n}^m?C_{m+n}^{m+1}$

Cm+nm??Cm+nm+1?这部分直接推导即可

参考资料

[1] 卡特兰数 — 计数的映射方法的伟大胜利
[2] 【证明】卡特兰数（折线法）
[3] 一道面试题到卡特兰数及其应用
[4] 卡特兰数（catalan数）总结 （卡特兰大数、卡特兰大数取模、卡特兰数应用）
[5] 卡特兰(Catalan)数入门详解 —— 例题的证明讲得不错
[6] LeetCode -「算法入门笔记」卡特兰数