Moore-Penrose广义逆

摩尔－彭若斯广义逆 A+（Moore–Penrose pseudoinverse）是最著名的广义逆阵，也是该词的通俗意思。

1903年，埃里克伊姆（Erik Ivar Fredholm）提出积分算子的伪逆的概念。摩尔－彭若斯广义逆先后被以利亚金·黑斯廷斯·摩尔（Eliakim Hastings Moore）（1920年）、阿恩·布耶哈马（Arne Bjerhammar）（1951年）、罗杰·彭罗斯（1955年）发现或描述。

它常被用于求得或简化非一致线性方程组的最小范数最小二乘解（最小二乘法）。

矩阵的摩尔－彭若斯广义逆在实数域和复数域上都是唯一的，并且可以通过奇异值分解求得。

（来自维基百科）

一. 定义

设 A∈C^m*n,若存在矩阵G∈C^n*m（C为复数域）,使得
(1) AGA = A;
(2) GAG = G;
(3) (AG)^H = AG;
(4) (GA)^H = GA;
则称 G 为 A 的Moore-Penrose广义逆或加号广义逆，简称为A的M-P逆。A的任意M-P逆记为A⁺。

二. 定理

定理一：
若矩阵A∈C^m*n存在M-P广义逆，则A的M-P逆是唯一的。

证明: 设G₁,G₂都是A的M-P广义逆，则G₁,G₂均满足M-P逆的定义中的四个条件，于是

G₁=(G₁A)G₁ = (G₁A)^HG₁ = A^HG₁^HG₁=(A^HG₂^HA^H）G₁^HG₁=(G₂A)^H(G₁A)^HG₁=G₂AG₁AG₁=G₂AG₁;
G₂=G₂(AG₂)=G₂(AG₂)^H=G₂G₂^HA^H=G₂G₂^H(A^HG₁^HA^H）=G₂(AG₂)^H(AG₁)^H=G₂AG₂AG₁=G₂AG₁‘
所以 G₁=G₂

定理二：
任意矩阵A∈C^m*n都存在M-P广义逆A⁺，设rank（A）= r，A的一个满秩分解为A=BC,B∈C^m*r,C∈C^r*n,rank(B)=rank(C )=r,则A⁺=C^H(CC^H)^-1(B^HB)^-1B^H。

定理三
设矩阵A∈C^m*n，rank(A)=r,A的奇异值分解为

则

其中Δ为对角线由A的正奇异值所构成的对角矩阵，Δ∈C^r*r。

定理四
设A∈C^m*n，λ∈Cⁿ，则A⁺满足以下性质：
(1) (A⁺)⁺ = A
(2) (A⁺)^H = (A^H)⁺
(3) (λA)⁺ = λ⁺A⁺，其中 λ⁺ ={ 0，λ=0；1/λ，λ≠0}
(4) A∈C^m*n是列满秩的，则 A⁺ = (A^HA)^-1A^H;
若A是行满秩的，则 A⁺ = A^H(AA^H)^-1
(5) 若A有满秩分解A=BC,则A⁺ = C⁺B⁺

参考资料：
[1]https://en.wikipedia.org/wiki/Moore%E2%80%93Penrose_inverse
[2] 《矩阵论》（第二版）杨明，刘先忠.华中科技大学出版社，2005年3月 ISBN 978-7-5609-3046-6