PP图，QQ 图，及 python 画图

统计学中有时会用到 PP 图或 QQ 图，用来看样本数据是否服从某一特定分布，或用来看两个样本数据是否服从同一分布。

若 PP 或 QQ 图中的点基本落在一条 45度的线上，则说明服从特定分布。

一般的步骤为：

将样本数据从小到大排序，假设排序后的样本数据为
$x_{1} x_1$
x1?，
$x_{2} x_2$
x2?，
$\dots \dots$
…，
$x_{n} x_n$
xn?。
对于
$n n$
n 个样本数据，对应
$n n$
n 个分位数。分位数的取值规则不一样，一个比较简答的规则是：第
$k k$
k 个分位数的取值为
$Q_{k} = (k ? 0.5) / n Q_k=(k-0.5)/n$
Qk?=(k?0.5)/n
横坐标为：
$x_{1} x_1$
x1?，
$x_{2} x_2$
x2?，
$\dots \dots$
…，
$x_{n} x_n$
xn?，纵坐标为：所判断分布的累计分布函数在分位数的逆函数值
$F^{?} (Q_{k}) F^-(Q_k)$
F?(Qk?)，则为 QQ 图；若横坐标为：
$F (x_{1}) F(x_1)$
F(x1?)，
$F (x_{2}) F(x_2)$
F(x2?)，
$\dots \dots$
…，
$F (x_{n}) F(x_n)$
F(xn?)，纵坐标为：
$Q_{k} Q_k$
Qk?，则为 PP 图。

PP 图与 QQ 图的功能基本一样，我见用 QQ 图的比较多。因为分位数的取值规则不一样，因此 QQ 图可能画的不太一样。

下面以正态分布的随机样本为例，用 python 画一下图形，专门的 QQ 图也可以调用 scipy 中的 probplot 函数。

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import scipy.stats as st
import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np

n = 100
samples = st.norm.rvs(loc = 5, scale = 2, size = n)

samples_sort = sorted(samples)

x_labels_p = np.zeros(n)
x_labels_p[0] = 1 - 0.5 ** (1/n)
x_labels_p[n - 1] = 0.5 ** (1/n)
for i in range(1, n - 1):
x_labels_p[i] = (i + 1 - 0.3175)/(n + 0.365)
y_labels_p = st.norm.cdf(samples_sort, loc = 5, scale = 2)

plt.scatter(x_labels_p, y_labels_p)
plt.title('PP plot for normal distribution samle')
plt.show()

x_labels_q = samples_sort
y_labels_q = st.norm.ppf(x_labels_p, loc = 5, scale = 2)

plt.scatter(x_labels_q, y_labels_q)
plt.title('QQ plot for normal distribution samle')
plt.show()

res = st.probplot(samples, sparams=(5, 2), plot = plt) # 若没有 sparams，默认会标准化样本数据
plt.title('QQ plot by probplot for normal distribution')
plt.show()

显示图形：

在这里插入图片描述

由于 probplot 的分位数取值规则不同，从图形上看，probplot 的 QQ 图与自己画的 QQ 图略微不一样。