Savitzky-Golay卷积平衡算法原理，以及MATLAB的实现


Savitzky-Golay卷积平衡算法是移动平滑算法的改进，又称为移动窗口最小二乘多项式平滑，最初是由Savitzky和Golay在1964年提出，被广泛应用于数据流平滑去噪，最大特点是在滤波的同时可以确保信号的形状，宽度不变。
使用平滑滤波器对信号滤波时，实际上拟合了信号中的低频成分，而将高频成分平滑出去，如果噪声在高频段，那么滤波的结果就是去除了噪声，如果噪声在低频段，那么滤波的结果就是留下了噪声，是一种低通滤波器。SG平滑滤波的效果随着选取窗口的不同而不同。
拉曼光谱的原理
在这里插入图片描述
原理中的关键是利用最小二乘求出常数项系数C，他的求解方式可以看博客介绍最小二乘法和惩罚最小二乘法原理，在这篇博客中我另B=(XT * X)-1 *XT。B为滤波系数矩阵，由且仅由X矩阵决定，根据系数矩阵即可获得S-G平滑拟合方程。
系数矩阵B的MATLAB实现代码为

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function [ filter_matrix ] = S_Gtest(  n,k )
%S-G 平滑一般方法-n点k-1次平滑
%Input: -n，滤波带宽，即原始数据点个数，一般要求为奇数
%       -k，拟合多项式最高次幂+1
%Output:-S-G滤波系数矩阵
m=(n-1)/2;
X=[];
for i=0:(n-1)
    for j=0:(k-1)
        X(i+1,j+1)=power(i-m,j);
    end
end
filter_matrix=X*inv(X'*X)*X';
end

然后再主函数中调用，测试数据可以从这里下载，我提供的测试数据数2048个。

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y11=S_Gtest(21,4);
y12=zeros(1,2048);
for j=0:2027
   temp_X= y10(1+j:21+j)';
   hgg=(y11*temp_X);
   hgd=hgg(11);
   y12(1,11+j)=hgd-20;
end
ysg = sgolayfilt(y10,5,7)-10;
figure
plot(y10)
hold on
plot(ysg,'k')
plot(y12,'b');
legend('污染信号','原始信号','MATLAB提供sgolayfilt','s-g21*4平衡滤波')

通过窗口的不断向前平滑，实现对整个波形噪声的去除，得出如下的图形，为了方便观察我把数据上下平移，在这里插入图片描述
MATLAB实现的效果图
在这里插入图片描述
从图中可以看出窗口在21时去噪效果已经很好，一般来说窗口值越大越平衡，缺点就是左右两端没有实现去噪。