AI笔记: 数学基础之函数的导数应用及求导公式

关于导数

导数是数学中非常重要的概念，它能反应出速度变化的快慢，尤其在AI的算法分析，优化以及数据挖掘中用到很多

导数的引出

引例1

变速直线运动的速度
- s是距离，t是时间，v是速度
- 设描述指点运动的位置函数为
  $s = f (t) s = f(t)$
  s=f(t)
- 则
  $t_{0} t_0$
  t0?到t的平均速度为
  $\vec{v} = \frac{f (t) ? f (t_{0})}{t ? t_{0}} \overrightarrow{v} = \frac{f(t) - f(t_0)}{t - t_0}$
  v
- 而在
  $t_{0} t_0$
  t0?时刻的瞬时速度为
  $v = {\lim?}_{t \to t_{0}} \frac{f (t) ? f (t_{0})}{t ? t_{0}} v = \lim_{t \to t_0} \frac{f(t) - f(t_0)}{t - t_0}$
  v=limt→t0??t?t0?f(t)?f(t0?)?

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引例2

曲线的切线斜率
- 曲线C:
  $y = f (x) y = f(x)$
  y=f(x) 在M点处的切线MT，与x轴夹角是
  $α \alpha$
  α
- MN是曲线C的一条割线，与x轴夹角是
  $β \beta$
  β
- 割线MN的极限位置MT(当
  $β \to α \beta \to \alpha$
  β→α时)
- 切线MT的斜率
  $k = t a n α = {\lim?}_{β \to α} t a n β k = tan \alpha = \lim_{\beta \to \alpha} tan \beta$
  k=tanα=limβ→α?tanβ
- 割线MN的斜率
  $t a n ? = \frac{f (x) ? f (x_{0})}{x ? x_{0}} tan \phi = \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0}$
  tan?=x?x0?f(x)?f(x0?)? 如图虚线所示的比
- $k = {\lim?}_{x \to x_{0}} \frac{f (x) ? f (x_{0})}{x ? x_{0}} k = \lim_{x \to x_0} \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0}$
  k=limx→x0??x?x0?f(x)?f(x0?)?
- 可见增量比的极限就是曲线C在M点处的切线MT

导数的定义

设函数y=f(x)在点
$x_{0} x_0$
x0?的某临域内有定义
设
$△ y = f (x) ? f (x_{0}) \triangle y = f(x) - f(x_0)$
△y=f(x)?f(x0?)
设
$δ x = x ? x_{0} \delta x = x - x_0$
δx=x?x0?
若
${\lim?}_{x \to x_{0}} \frac{f (x) ? f (x_{0})}{x ? x_{0}} = {\lim?}_{δ x \to 0} \frac{δ y}{δ x} \lim_{x \to x_0} \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0} = \lim_{\delta x \to 0} \frac{\delta y}{\delta x}$
limx→x0??x?x0?f(x)?f(x0?)?=limδx→0?δxδy? 存在
则称函数f(x)在点
$x_{0} x_0$
x0?处可导，并称此极限为y=f(x)在点
$x_{0} x_0$
x0?的导数
记为：
- ${y^{'} ∣}_{x = x_{0}} \mathop{{\left. y' \right| }}\nolimits_{{x=\mathop{{x}}\nolimits_{{0}}}}$
  y′∣x=x0??
- $f^{'} (x_{0}) f'(x_0)$
  f′(x0?)
- ${\frac{d y}{d x} ∣}_{x = x_{0}} \mathop{{\left. \frac{dy}{dx} \right| }}\nolimits_{{x=\mathop{{x}}\nolimits_{{0}}}}$
  dxdy?∣∣∣?x=x0??
- ${\frac{d f (x)}{d x} ∣}_{x = x_{0}} \mathop{{\left. \frac{df(x)}{dx} \right| }}\nolimits_{{x=\mathop{{x}}\nolimits_{{0}}}}$
  dxdf(x)?∣∣∣?x=x0??
- 以上四种均可表示，即：
  ${y^{'} ∣}_{x = x_{0}} = f^{'} (x_{0}) = {\lim?}_{△ x \to 0} \frac{△ y}{△ x} = {\lim?}_{△ x \to 0} \frac{f (x_{0} + △ x) ? f (x_{0})}{△ x} \mathop{{\left. y' \right| }}\nolimits_{{x=\mathop{{x}}\nolimits_{{0}}}} = f'(x_0) = \lim_{\triangle x \to 0} \frac{\triangle y}{\triangle x} = \lim_{\triangle x \to 0} \frac{f(x_0 + \triangle x) - f(x_0)}{\triangle x}$
  y′∣x=x0??=f′(x0?)=lim△x→0?△x△y?=lim△x→0?△xf(x0?+△x)?f(x0?)?

导数公式

常数和基本初等函数的导数公式

仅供查阅

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基本求导法则

1 ） 函数的和、差、积、商的求导法则

设
u=u(x),v=v(x)u = u(x), v = v(x)
u=u(x),v=v(x) 都可导，则
- (1)
  $(u \pm v)^{'} = u^{'} \pm v^{'} (u \pm v)' = u' \pm v'$
  (u±v)′=u′±v′
- (2)
  $(C u)^{'} = C u^{'} (Cu)' = Cu'$
  (Cu)′=Cu′ (C是常数)
- (3)
  $(u v)^{'} = u^{'} v + u v^{'} (uv)' = u'v + uv'$
  (uv)′=u′v+uv′
- (4)
  $(\frac{u}{v})^{'} = \frac{u^{'} v ? u v^{'}}{v^{2}} (\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$
  (vu?)′=v2u′v?uv′? (
  $v \neq 0 v \neq 0$
  v?=0)

2 ) 反函数的求导法则

如果函数
$x = f (y) x=f(y)$
x=f(y)在区间
$I_{y} I_y$
Iy?内单调、可导且
$f^{'} (y) \neq 0 f'(y) \neq 0$
f′(y)?=0
则它的反函数
$y = f^{? 1} (x) y=f^{-1}(x)$
y=f?1(x)在区间
$I_{x} = {x ∣ x = f (y), y \in I_{y}} I_x = \{ x| x = f(y), y \in I_y \}$
Ix?={x∣x=f(y),y∈Iy?}内也可导，且有
$[f^{? 1} (x)]^{'} = \frac{1}{f^{'} (y)} [f^{-1}(x)]' = \frac{1}{f'(y)}$
[f?1(x)]′=f′(y)1? 或
$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{\frac{d x}{d y}} \frac{dy}{dx} = \frac{1}{\frac{dx}{dy}}$
dxdy?=dydx?1?

3 ) 复合函数求导法则

设
$y = f (u), u = φ (x) y=f(u), u=\varphi (x)$
y=f(u),u=φ(x), 则复合函数
$y = f [φ (x)] y = f[\varphi (x)]$
y=f[φ(x)]的导数为
$\frac{d y}{d x} = \frac{d y}{d u} ? \frac{d u}{d x} = f^{'} (u) ? φ^{'} (x) \frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} * \frac{du}{dx} = f'(u)*\varphi ' (x)$
dxdy?=dudy??dxdu?=f′(u)?φ′(x)

例子1

求
y=2x3?5x2+3x?7y=2x^3 - 5x^2 + 3x - 7
y=2x3?5x2+3x?7的导数
- $y^{'} = 2 ? 3 ? x^{2} ? 5 ? 2 ? x + 3 + 0 y' = 2*3*x^2 - 5*2*x + 3 + 0$
  y′=2?3?x2?5?2?x+3+0
- $y^{'} = 6 x^{2} ? 10 x + 3 y' = 6x^2 - 10x + 3$
  y′=6x2?10x+3

例子2

已知
f(x)=x3+4cosx?sinπ2f(x) = x^3 + 4cosx - sin \frac{\pi}{2}
f(x)=x3+4cosx?sin2π?, 求
f′(x)、f′(π2)f'(x) 、f'(\frac{\pi}{2})
f′(x)、f′(2π?)
- $f^{'} (x) = 3 ? x^{2} ? 4 ? s i n x ? 0 f'(x) = 3*x^2 - 4*sin x - 0$
  f′(x)=3?x2?4?sinx?0
- $f^{'} (x) = 3 x^{2} ? 4 s i n x f'(x) = 3x^2 - 4sinx$
  f′(x)=3x2?4sinx
- $f^{'} (\frac{π}{2}) = 3 ? (\frac{π}{2})^{2} ? 4 ? \frac{π}{2} f'(\frac{\pi}{2}) = 3*(\frac{\pi}{2})^2 - 4*\frac{\pi}{2}$
  f′(2π?)=3?(2π?)2?4?2π?
- $f^{'} (\frac{π}{2}) = \frac{3}{4} π^{2} ? 4 f'(\frac{\pi}{2}) = \frac{3}{4} \pi^2 - 4$
  f′(2π?)=43?π2?4

例子3

求
y=x?lnxy=\sqrt{x} * ln x
y=x
- $y^{'} = ({\sqrt{x}}^{'} l n x + \sqrt{x} (l n x)^{'}) y' = (\sqrt{x}'ln x + \sqrt{x}(ln x)')$
  y′=(x
- $y^{'} = \frac{1}{2} ? \frac{1}{\sqrt{x}} ? l n x + \sqrt{x} ? \frac{1}{x} y' = \frac{1}{2} * \frac{1}{\sqrt{x}} * ln x + \sqrt{x} * \frac{1}{x}$
  y′=21??x
- $y^{'} = \frac{1}{\sqrt{x}} (\frac{l n x}{2} + 1) y' = \frac{1}{\sqrt{x}} (\frac{ln x}{2} + 1)$
  y′=x

例子4

求
y=ex(sinx+cosx)y=e^x(sin x + cos x)
y=ex(sinx+cosx)的导数
- $y^{'} = (e^{x})^{'} (s i n x + c o s x) + e^{x} (s i n x + c o s x)^{'} y' = (e^x)'(sin x + cos x) + e^x(sinx + cosx)'$
  y′=(ex)′(sinx+cosx)+ex(sinx+cosx)′
- $y^{'} = e^{x} (s i n x + c o s x) + e^{x} (c o s x ? s i n x) y' = e^x(sin x + cos x) + e^x(cosx - sinx)$
  y′=ex(sinx+cosx)+ex(cosx?sinx)
- $y^{'} = e^{x} ? 2 ? c o s x y' = e^x * 2 * cos x$
  y′=ex?2?cosx
- $y^{'} = 2 e^{x} c o s x y' = 2 e^x cos x$
  y′=2excosx

高阶导数

若函数y=f(x)的导数
$y^{'} = f^{'} (x) y' = f'(x)$
y′=f′(x)可导
则称
$f^{'} (x) f'(x)$
f′(x)的导数为f(x)的二阶导数
记为
$y^{''} y''$
y′′ 或
$\frac{d^{2} y}{d x^{2}} \frac{d^2y}{dx^2}$
dx2d2y?
即：
$y^{''} = (y^{'})^{'} y'' = (y')'$
y′′=(y′)′ 或
$\frac{d^{2} y}{d x^{2}} = \frac{d}{d x} ? (\frac{d y}{d x}) \frac{d^2y}{dx^2} = \frac{d}{dx} * (\frac{dy}{dx})$
dx2d2y?=dxd??(dxdy?)
类似地，二阶导数的导数称为三阶导数，以此类推，n-1阶导数的导数称为n阶导数，分别记为：
$y^{'}, y^{''}, y^{'''}, y^{(4)}, y^{(5)}, . . ., y^{(n)} y', y'', y''', y^{(4)}, y^{(5)}, ..., y^{(n)}$
y′,y′′,y′′′,y(4),y(5),...,y(n) 或
$f^{'} (x), f^{''} (x), f^{'''} (x), f^{(4)} (x), f^{(5)} (x), . . ., f^{(n)} (x) f'(x), f''(x), f'''(x), f^{(4)}(x), f^{(5)}(x), ..., f^{(n)}(x)$
f′(x),f′′(x),f′′′(x),f(4)(x),f(5)(x),...,f(n)(x)
$y^{(n)} = \frac{d^{n} y}{d x^{n}} y^{(n)} = \frac{d^ny}{dx^n}$
y(n)=dxndny?
原函数可以称为0阶导数
二阶及其以上导数统称为高阶导数